线性代数的历史

用户9861443

发布于 2024-04-01 10:29:57

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发布于 2024-04-01 10:29:57

作者：单治超，本文来自单治超科学网博客。

一般理工科专业在本科都要学习微积分、线性代数、概率统计三门数学课程。微积分和概率统计两门课程的用途在学习过程中立竿见影。可是线性代数有什么用，初学者常常摸不到头脑。包括我本人大一时学习高等代数时也不太感兴趣。若干年之后对数学学科有了更深的整体性认识，返回头再看线性代数的确是非常重要。相信很多理工科学生是读研甚至工作之后才意识到线性代数的重要性。

线性代数非常重要，但已有的数学史文献似乎相对较少。我在百度学术搜了一下中文“线性代数的历史”，居然搜到 0 篇文献。我就转搜英文文献，幸而发现了 Israel Kleiner 所著“A history of abstract algebra”（见https://link.springer.com/book/10.1007/978-0-8176-4685-1 ）。其中第 5 章就是关于线性代数的历史。考虑到会有很多读者对线性代数的历史感兴趣，我就把这一章大部分内容翻译成中文，满足大家的需求。由于本人英文和数学水平有限，如果有翻译不当之处，敬请见谅。

1 线性方程

对线性方程组的现代化研究起源于莱布尼茨，他在 1693 年为此目的发明了行列式概念。但是他的研究在当时不为人所知。克莱姆在 1750 年发表“Introduction to the analysis of algebraic curves”，提出了解

n \times n

方程组的克莱姆法则，但是没有给出证明。

欧拉可能是第一个意识到含

个未知数的

个方程组成的方程组的解未必唯一，为保证唯一性需要增加条件。他出现了一个方程依赖于其他方程的想法，尽管没有给出精确刻画。18 世纪对线性方程的研究基本都是在行列式框架下进行，所以未知数个数和方程个数不同的线性方程组不在考虑范围之内。

1811 年高斯发表论文引入了最小二乘法，同时也引入了解线性方程组的高斯消元法，尽管他没有采用矩阵的表示形式。他考虑了未知数个数和方程个数不相等的情形。线性方程组的理论研究，包括无矛盾性等问题，到 19 世纪后半叶得到处理，至少部分是出于二次型和双线性型化简的动机。

2 行列式

矩阵和行列式有不同的起源。行列式要比矩阵出现更早，而且初期与线性方程紧密相连。后续又有很多问题需要用到行列式：elimination theory（找两个多项式有公共根的条件），坐标变换以简化代数表达式（例如二次型），多元积分中的变量替换，微分方程组的解，还有天体力学。

上一节已述，莱布尼茨发明了行列式。他实质上已经知道了行列式的现代组合定义，并用来研究线性方程组和 elimination theory. 他写了很多关于行列式的论文，但直到近些年才得到发表。

最早的关于行列式的出版物是麦克劳林的“Treatise of algebra”，其中用来解

2 \times 2

和

3 \times 3

方程组。不久就有了克莱姆法则。

行列式独立于解线性方程组的阐述最早由范德蒙在 1772 年的“Memoir on elimination”中给出。（行列式的名字最早由高斯在 1801 年给出，用于表示二次型的判别式。）拉普拉斯在 1772 年的“Researches on the integral calculus and the system of the world”中拓展了范德蒙的工作，指出如何利用 cofactor 展开

n\times n

行列式。

第一个系统阐述行列式的是柯西，他在 1815 年发表论文“On functions which can assume but two equal values of opposite sign by means of transformations carries out on their variables”. 他是我们今天所谓的行列式理论的创立者。他证明了许多关于行列式的结果，例如乘法公式：det (AB) =detA * detB. 他的工作为数学家提供了有力的代数工具，用于研究 n 维代数、几何和分析。例如，1843 年凯莱以行列式为基本工具建立 n 维解析几何的理论，1870 年戴德金用来证明代数数的和与积仍然是代数数。

魏尔斯特拉斯和克罗内克大概在 19 世纪 60 年代给出了行列式的公理化定义。魏尔斯特拉斯定义行列式为赋范线性齐次函数。他们的工作在 1903 年为人所知，这一年魏尔斯特拉斯的“On determinant theory”和克罗内克的“Lectures on determinant theory”得到发表。行列式理论在 19 世纪是一个充满活力又富有独立性的主题，有 2000 余篇论文。但 20 世纪之后行列式不再那么时髦，因为线性代数主要结果的证明不再依赖于行列式。

3 矩阵和线性变换

矩阵是高斯为简化线性变换的书写引入的。他把线性变换表示为矩形的数列——矩阵，尽管他没有使用矩阵这一术语。他事实上也引入了矩阵的乘法（

2 \times 2

和

3\times 3

情形）。他心中知道线性变换的复合。

凯莱在他 1850 年和 1858 年的两篇论文里正式引入了

m \times n

矩阵。他意识到矩阵在化简线性方程组和做线性变换复合时很有用。他定义了矩阵的加法和乘法，定义了矩阵与实数或复数的数乘。他引入了单位矩阵和方阵的逆矩阵，并把逆矩阵用于求解

n \times n

方程组。

凯莱在 1858 年的论文里证明了重要的凯莱-哈密尔顿定理：方阵满足特征多项式。这篇论文中凯莱没有给出

n \geq 4

时的严格证明。凯莱还在另一篇论文中用矩阵解决了重要的凯莱-厄米特问题。

凯莱率先产生了矩阵可组成符号代数的重要想法。特别是他把矩阵用字母表示，是产生矩阵代数的关键性一步。但是他在 19 世纪 50 年代的论文在英格兰以外被关注不多，直到 19 世纪 80 年代。

1820-1870 年代里柯西、雅克比、若当、魏尔斯特拉斯等人也做出了很多工作，他们创立了矩阵的谱理论：他们把矩阵区分为对称阵，正交阵，酉矩阵；研究各种类型矩阵的特征值；研究矩阵的标准型。例如若当标准型由魏尔斯特拉斯和若当独立引入，证明了两个矩阵相似当且仅当它们有相同的若当标准型。

1878 年 Frobenius 发表论文“On linear substitutions and bilinear forms”，用双线性型的语言建立矩阵理论。他受到他的老师魏尔斯特拉斯的深刻影响，采用了魏尔斯特拉斯式的严格性，并探求理论背后的根本性想法。他对双线性型的标准型的一般问题进行了彻底的研究。“Frobenius 的论文代表了矩阵论历史上的一个重要转折点，他首次把柯西，雅克比，魏尔斯特拉斯，克罗内克的谱理论与爱森斯坦，厄米特和凯莱的符号化传统结合在一起。”

Frobenius 把他的矩阵论用于群表示和四元数，证明实数的 n 元组能构成交换代数的只有实数，复数和四元数。（Peirce 也独立证过）交换代数与矩阵论的联系将在后续的非交换环论的发展中起到根本性作用。

4 线性无关，基，维数

线性无关，基，维数的概念出现在多种背景下，尽管未必有严格定义，背景例如代数数论，域论和伽罗华理论，超复数系，微分方程和解析几何。

代数数论的研究对象是代数数域

\mathbb{Q}(\alpha)

\mathbb{Q}

表示有理数，

\alpha

是代数数。如果

\alpha

的最小多项式的次数是 n，那么

\mathbb{Q}(\alpha)

中每个元素可以唯一表示为

a_0+a_1 \alpha+…+a_{n-1}\alpha^{n-1}

。于是

\alpha

, …,

\alpha^{n-1}

构成

\mathbb{Q}(\alpha)

的基，

\mathbb{Q}(\alpha)

可以视为

\mathbb{Q}

上向量空间，尽管此时向量空间的定义还没有正式出现。

戴德金在代数数论的研究中引入了域的概念。他把域定义为复数集满足某些公理的子集。他给出了关于域的重要概念和结果，有些与线性代数有关。例如，如果

是

的子域，它把

在域上的度定义为

作为

上线性空间的维数，并且证明了如果度有限，那么

中每个元素在

上都是代数元。线性无关，基和维数的概念在这里以明显的方式出现，向量空间的概念事实上也出现了，不过比较隐晦。

1893 年 Weber 给出了有限群和有限域的公理化定义，用于给出伽罗华理论的抽象阐述。其中提到：如果

是

的子域，

是

的子域，那么

(K:F)=(K:E)(E:F)

. 这里

(T:S)

表示

作为

上向量空间的维数。

戴德金和 Weber 关于域扩张的很多思想在 Steinitz 1910 年的论文“Algebraic theory of fields”中被完善，这里 Steinitz 发展了抽象域论。20 世纪 20 年代 Artin 把伽罗华理论“线性化”了。

（有数段从略，因为我完全不懂）

5 向量空间

到 1880 年止，线性代数的基本结果很多已经得到，但并未视为统一化的理论。向量空间的概念还没有出现。向量空间的概念是 1888 年由皮亚诺引入的。

数学中向量的概念来自复数的几何表示，由 18 世纪末 19 世纪初的几位数学家独立完成，起源于 1797 年的 Wessel，到 1831 年高斯时达到高潮。这些著作里把复数表示为平面内的点或有向线段。1835 年哈密尔顿把复数定义为有序实数对，上面有加法、乘法和数乘。他注意到有序实数对运算有封闭性，满足交换和分配律，有零元，加法和乘法有逆元。

一个重要进展是向量概念向三维空间的拓展。哈密尔顿在他的四元数系内创立了向量代数，可表示为

a\mathbb{i}+b\mathbb{j}+c\mathbb{k}

，其中

是实数，

\mathbb{i}

,\mathbb{j},\mathbb{k} 是四元数。这是三维欧氏空间中基的先驱。也是在这里他把这些对象称为“向量”。

向量空间理论的一个至关重要的发展是三维空间理论向更高维空间的拓展，由凯莱，哈密尔顿，格拉斯曼独立在 19 世纪 40 年代初完成。哈密尔顿把三维向四维的拓展称为“leap of the imagination”. 他把他的八元数视为四维向量空间，并花费二十多年研究。凯莱关于维数的研究出现于 1843 年的论文“Chapters of analytic geometry of n-dimensions.”

格拉斯曼 1844 年的“Doctrine of linear extension”目标在于建立 n 维空间不依赖于坐标的代数。其中包含了诸多线性代数的基本观点，例如 n 维向量空间，子空间，支撑集，线性无关，基，维数和线性变换。

向量空间定义为线性组合

a_1e_1+a_2e_2+…+a_ne_n

组成的集合，其中

a_i

是实数，

e_i

线性无关。加法、减法、乘法如通常方式定义，满足若干性质，例如交换律，结合律等。格拉斯曼断言，许多关于数的四则运算的运算律依然成立。他证明了关于向量空间的诸多结果，例如

\text{dim} V+\text{dim} W= \text{dim} (V+W)+\text{dim} (V \cap W)

格拉斯曼的著作不易懂，很多想法是用哲学语言表述的，因此被数学圈所忽视。1862 年的版本被更好地接受。这激发皮亚诺完成“Geometric calculus”（1888）。

在这部著作的最后一章“Transformations of linear systems”，皮亚诺给出了实数集上向量空间的公理化定义。他称之为“线性系统”。这体现了现代化的公理化精神，与我们今天看到的差不多。他指出实数，复数，平面内的向量，三维空间的向量，向量空间到向量空间的线性变换，一元多项式集都是向量空间的例子。

皮亚诺也定义了线性代数的其他概念，包括维数，线性变换，并证明了一系列定理。例如，他把向量空间的维数定义为线性无关元的最大数目，证明了

维向量空间内任意

个线性无关的元可以作为一组基。他注意到如果限制一元多项式集的最大次数是

，其维数是

n+1

，但是如果次数没有限制，那么得到的向量空间是无穷维的。