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【组合数学】递推方程 ( 递推方程内容概要 | 递推方程定义 | 递推方程示例说明 | 斐波那契数列 )

文章目录 一、递推方程 内容概要 二、递推方程 定义 三、递推方程 示例 四、斐波那契数列 ( Fibnacci ) 一、递推方程 内容概要 ---- 递推方程 内容概要 : 递推方程定义 递推方程实例...常系数线性递推方程 常系数线性递推方程定义 公式解法 递推方程在计数问题中的应用 二、递推方程 定义 ---- 序列 a_0 , a_1 , \cdots , a_n , \cdots , 记做..., 和 初值 , 就可以 唯一确定一个序列 ; 递推方程表达的关系 : 递推方程 只表达了 项与之前的项 的关系 , 如果 初值不同 , 得到的数列是不同的 ; 递推方程与数列关系 : 递推方程代表的不是一个数列...可以计算 F(2) , 根据 F(2) 可以计算 F(3) , 根据 F(3) 可以 计算 F(4) , \cdots , 根据 F(n-1) 可以计算 F(n) ; 四、斐波那契数列...斐波那契数列 : 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , \cdots 2 .

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【组合数学】递推方程 ( 递推方程示例 1 | 列出递推方程 )

文章目录 一、递推方程示例 1 二、递推方程示例小结 一、递推方程示例 1 ---- 编码系统使用 8 进制数字 , 对信息编码 , 8 进制数字只能取值 0,1,2,3,4,5,6,7 ,...分析 : n 位长的编码 , 可以 由 n-1 位长的编码 , 后面加上 一位 8 进制数字 构成 ; 对于每个 n-1 位长的编码 , 后面加上一位数字 , 使得最终的编码 满足 有效编码的要求...这样就含有奇数个 ( 1 个 ) 7 , 是无效编码 ; 只能是 0,1,2,3,4,5,6 这 7 种 , 因此有 1 位编码时 , 有效编码个数是 7 个 , 产生 递推方程初值...最终得到的递推方程 : 递推方程 : a_n = 6a_{n-1} + 8^{n-1} 初值 : a_1 = 7 解上述递推方程的通项公式 : a_n = \cfrac{6^n + 8^n}{2}...二、递推方程示例小结 ---- 该问题是一个具体的计数问题 , 上述问题并不是简单的计数 , 该计数带参数 n , 这种类型的计数 , 可以看成一个 数列计数结果 , 如果可以找到该数列 , 后项

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数控中的数学——方程组

数控编程、车铣复合、普车加工、行业前沿、机械视频，生产工艺、加工中心、模具、数控等前沿资讯在这里等你哦 让我们看看线性方程如何工作： 求 x 的值 方程 2x=10 让我们从简单的开始，假设 2x=10...这只能是一回事，因为唯一可以乘以 2 等于 10 的数字是 5。 在此示例中，未知变量“x”等于 5。 我们可以看到这些方程会是什么，但是当等式两边都有未知数时，它会变得更加复杂。...这就是我们将在本文中讨论的内容。...具有 2 个或多个未知数的线性方程 让我们再次从 2x 开始，但这一次我们要说： 2x + 3x = 5 + 4x 这次我们看不到答案，因为它并没有跳出来，所以我们需要用数学来解决它。...我们不需要将 X 加在一起，只需将乘以 x 的数字相加即可。所以等式现在看起来像这样： 5x = 5 + 4x 下一步是获取等号一侧的所有 x。

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考研（大学）数学 ​微分方程（3）

微分方程（3） 第四节 高阶微分方程 ---- 4.1 高阶齐次线性微分方程 4.1.1 高阶齐次微分方程的基本概念 1.n阶齐次线性微分方程的定义 例如 y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+\..._{2}=2 ,所以原方程的通解为 y=(C_{1}+C_{2}x)e^{2x} . 3 求 y^{''}-2y^{'}+2y=0 的通解 解：根据方程知特征方程为 \lambda^2-2\lambda...+2=0 ,解得特征值为 \lambda_{1,2}=1\pm i ,则原方程的通解为 y=e^{x}(C_{1}\sin x+C_{2}\cos x) ---- 2.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解...lambda_{2}=-2 ,所以对应的齐次线性微分方程的通解为： y=(C_{1}+C_{2}x)e^{-2x} ( C_{1},C_{2} 均是常数），由于在方程的右边含有参数，故对 a 进行讨论...（1）当 a\neq-2 时，由于 a 不是特征值，所以直接设原方程的特解为 y_{0}=Ae^{ax} ,带入原方程求得 A=\dfrac{1}{(a+2)^2} , 所以原方程的通解为 y=(C_{

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考研（大学）数学 ​微分方程（1）

微分方程（2） 第三节 可降阶的高阶微分方程 ---- 3.1形如 y^{n}=f(x) 的方程 方法：对方程直接左右两边进行不定积分，重复 n 次。...3.2 形如 f(x,y^{'},y^{''})=0 的方程（缺 y 型） 方法：（1）.令 \displaystyle y^{'}=\frac{dy}{dx}=p ，则 \displaystyle y...^{''}=\frac{dp}{dx} ，所以原方程变为 \displaystyle f(x,p,\frac{dp}{dx})=0 ； （2）.解方程 p=\varphi(x,C_{1}) ,，则原方程的解为...\displaystyle y=\int\varphi(x,C_{1})dx+C_{2} 3.3形如 f(y,y^{'}y^{''})=0 的方程（缺 x 型） 方法：（1）.令 y^{'}=p ，则...，一个是凑微分，另外一个利用导数的除法公式；化成常见的方程，例如一阶齐次线性微分方程和一阶非齐次线性微分方程，再利用初始条件，得出解；后面两题是关于缺 x 型和 y 型的真正解法，注意常见的不定积分，一步一步求解即可

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数学|如何求解线性方程系数？

问题描述 线性方程在生活的出现的比例很高，很多地方都可以出现它的身影。这些方程都是通过对实际数据的分析处理得来的，那么这些方程到底该如何确定呢？就像下面的散点图，如何通过它得到一个线性方程？ ?...图1 大致符合线性方程的散点图 解决方案 对于上面的散点图，可以设一元线性方程：y=k*x+b，为了评价这里的系数k和b的好坏，一般可以采用求实际值和预测值的均方差MSE，当MSE达到最小值时，系数也就达到了最优...由均方差的定义可知： ? 可见MSE是一个关于k和b的二元一次方程，对于一元函数，图像是一个平面，十分常见，而二元函数的图像则是一个空间，可参见下图。 ?...但是只经由一次计算是不准确的，因为这里的r是未知的，为了更加准确，只有将r尽可能地设置小，然后将得到x0的赋值给下一个xi，多次运算，使最终的结果尽可能的逼近真实值。...结语 对于上述问题，分析了求解简单线性方程系数，这里的系数只有两个，但是这个方法同样适用于含有多个系数的函数问题，只要套用这个方法，得出系数向理想值靠拢的公式，也就能较准确的求出多个系数。

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【组合数学】递推方程 ( 递推方程示例 2 汉诺塔 | 递推方程示例 3 插入排序 )

文章目录 一、递推方程示例 2 汉诺塔 二、递推方程示例 3 插入排序 一、递推方程示例 2 汉诺塔 ---- Hanoi 问题 : 递推方程为 : T(n) =2 T(n-1) + 1 初值 :...T(1) = 1 解 : T(n) = 2^n - 1 该递推方程表示 , 将 n 个盘子的移动次数 T(n) , 与 n-1 个盘子的移动次数 T(n-1) 之间的关系 ; 解法参考...: 【组合数学】递推方程 ( 特特解示例 ) 一、特解示例 1 ( 汉诺塔 ) 二、递推方程示例 3 插入排序 ---- W(n) 表示在最坏的情况下插入排序的次数 ; 前面的 n-1 个数已经排好了..., 其在最坏的情况下插入排序次数是 W(n-1) 次 , 第 n 个数字要插入到这 n-1 个数字中 , 最坏的情况是 要插入的数字要与所有的已排序好的 n-1 个数字进行比较 , 对比次数是...n-1 次 , 因此递推方程可以写成 : W(n) = W(n-1) + n-1 递推方程初值 : W(1) = 0 , 如果只有一个数字 , 不用进行排序 , 对比次数是 0 ; 最终解为

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基于Multisim的函数信号发生器–方波、三角波、正弦波

设计思路 – 电路组成 实验设计的函数发生器包括比较器与积分器组成的方波-三角波发生电路以及差分放大电路组成的三角波-正弦波转换电路，可依次生成方波、三角波、正弦波，将各模块组合起来即形成一个简易函数信号发生器...– 方波-三角波发生电路及工作原理 方波-三角波发生电路是由迟滞比较器和RC积分器组成的自激振荡电路，两者的输出信号互为输入信号。...比较器输出的方波经过积分器便可得到同频率的三角波，如下图所示： 而三角波反馈回比较器的同相入端, 继而触发比较器循环翻转形成方波。...此电路的线性性、抗干扰能力都较好,通过加入电位器即实现频率连续可调, 且不影响输出信号幅值。 – 三角波-正弦波转换电路及工作原理 三角波-正弦波转换电路是由有源差分放大电路组成的。...根据差分放大器传输特性曲线的非线性，如下图所示： 当积分器输出的三角波正负峰值接近差分放大管的截止电压时，晶体管集电极电流随时间变化的波形正好接近于正弦波，从而实现三角波-正弦波的转换，且传输特性曲线越对称

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【组合数学】递推方程 ( 递推方程解与特征根之间的关系定理 | 递推方程解的线性性质定理 | 递推方程解的形式 )

文章目录 一、递推方程解与特征根之间的关系定理 二、递推方程解的线性性质定理 三、递推方程解的形式 一、递推方程解与特征根之间的关系定理 ---- 特征根 与 递推方程的解 之间是存在关系的 , 如果知道了这个内在联系...q^n 是递推方程的解 ★ 证明上述定理 : 按照定义 , 将 递推方程的解 q^n , 代入原来的递推方程 , 递推方程的解是 q^n , 代表了 第 n 项的值是 q^n , 即..., 正好是特征方程 , 该特征方程的解 , 就是特征根 q ; \Leftrightarrow q 是特征根 二、递推方程解的线性性质定理 ---- 递推方程解的线性性质定理 : h_1(n)...“递推方程解与特征根之间的关系定理” 与 “递推方程解的线性性质定理” 结合在一起 , 就可以 根据特征根 , 将递推方程的解写出来 ; 假定 q_1 , q_2 , \cdots , q_k 是递推方程的特征根...+ \cdots + c_kq_k^n 也是递推方程的解 ; 此时找到了递推方程的解的一种形式 ; 总结下过程 : 递推方程标准形式 : 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是

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拿破仑时代的炮兵究竟数学要多好？

如果一个拿破仑时代的青年想当上炮兵军官，他的数学究竟要多好？他究竟要学哪一方面的数学，学到什么样水平和熟练度，才能胜任？...首先看教材，和当今一样，当时法军各学校各时期使用教材都有差异，例如拿破仑·波拿巴待过的欧索讷（Auxonne）炮兵团，其炮兵学校教材是一半皮热（Puget）和隆巴尔（Lombard）版教材、一半裴蜀（Bézout...（Napoléon Bonaparte et les généraux Du Teil (1788-1794),《拿破仑·波拿巴与迪泰伊家族的将军们，1788-1794》） ?...代数（中学水平） 会介绍如何解一次方程、多元方程组、二次方程以及在几何（尤其是三角）中的初步应用 ? 二次方程 ? 三角 4、5. 力学、数学-物理，第4、5卷系微积分基础和中学物理力学。...实际炮兵学员考核分为两部分，第一阶段考核算术、几何、平面三角（裴蜀版炮兵教材第1卷），第二阶段考核几何、代数、力学（相当于裴蜀版炮兵教材第2-4卷）——如拿破仑之类数学较好的学员，可以一次申请考过4卷。

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数学--数论--POJ281（线性同余方程）

埃琳娜（Elina）正在阅读刘如家（Rujia Liu）写的书，其中介绍了一种表达非负整数的奇怪方法。方式描述如下： 选择k个不同的正整数a 1，a 2，…，a k。...输出量 对于每个测试用例，在单独的行上输出非负整数m。如果有多个可能的值，请输出最小的一个。如果没有可能的值，则输出-1。...样本输入 2 8 7 11 9 样本输出 31 题目大意：现在将数表示成一种新的形式，即用一个数去除多个数mk，分别得到余数rk，用这些（除数，余数）对来唯一确定本来的数字。...裸的解线性同余方程组。 直接上扩展偶近距离的定理完事。...由于这里用不到y的值，所以暂时可以不用管 r1 = a1 * x + r1; //这相当于是x0的值 a1 = (a1 * a2

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【组合数学】递推方程 ( 有重根递推方程求解问题 | 问题提出 )

文章目录 一、有重根递推方程求解问题 二、有重根递推方程示例 一、有重根递推方程求解问题 ---- 有些 递推方程 的 特征方程 的 特征根 有 重根 的情况 , 特征方程解出来的 特征根有一部分是相等的..., 这样就使得 通解中的常数无法获取唯一的值 ; 参考 : 【组合数学】递推方程 ( 通解定义 | 无重根下递推方程通解结构定理 ) 二、无重根下递推方程通解结构定理 在 “无重根下递推方程通解结构定理...; ( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数 -1 , 最低次幂 0 ; ( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 ; ( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ; 2...构造递推方程的通解 : 构造 c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ; 4 ....求通解中的常数 : 将递推方程初值代入通解 , 得到 k 个 k 元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ; ( 1 ) 常数代入通解 : 得到最终的递推方程的解 ; 递推方程

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数学建模暑期集训5：matlab求解常微分方程偏微分方程

本篇将介绍用matlab求解常微分方程的数值解和解析解，并非是一种完整的模型，仅仅是一些算法。由于数学原理过于复杂，故不探究背后的数学原理，仅将matlab求解的相关函数加以记录。...功能函数：如ode15s，ode23s，ode23t， ode23tb 使用方法与非刚性类似 1.3高阶微分方程的解法 2.Matlab求常微分方程的解析解 2.1求常微分方程的通解 syms...%(1)问题定义 g='circleg'; %单位圆 b='circleb1'; %边界上为零条件 c=1;a=0;f=1; %（2）产生初始的三角形网格 [p,e,t]=initmesh(g);...对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用Matlab中pdetool提供的偏微分方程用户图形界面解法。...详细操作见 Matlab偏微分方程快速上手：使用pde有限元工具箱求解二维偏微分方程 偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

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【组合数学】递推方程 ( 通解定义 | 无重根下递推方程通解结构定理 )

该族 递推方程 的解的通用格式 ; 递推方程通解定义 : 如果递推方程 , 每个解 h(n) 都存在一组常数 c_1' , c_2' , \cdots , c_k' , 使得 h(n) =...通解 ; 分析 : 递推方程解个数 : 递推方程有多少解呢 , 将特征方程解出特征根 , 特征根个数 , 就是递推方程解的个数 ; 常数确定 : h(n) 是数列的第 n 项 , h(n)..., 这些常数是由初值确认的 ; 二、无重根下递推方程通解结构定理 ---- 无重根下递推方程通解结构定理 : 如果 q_1, q_2, \cdots , q_k 是 递推方程 不相等 的 特征根...= c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n 是递推方程的解 , 由之前已经证明过的定理得出 : q 是特征方程的特征根 \Leftrightarrow...q^n 是递推方程的解 h_1(n) 和 h_2(n) 都是同一个递推方程的解 , c_1 , c_2 是任意常数 , 两个解的线性组合 c_1h_1(n) + c_2h_2(n) ,

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【组合数学】递推方程 ( 无重根递推方程求解实例 | 无重根下递推方程求解完整过程 )

文章目录 一、斐波那契数列求解 二、无重根下递推方程求解完整过程 一、斐波那契数列求解 ---- 1 ....斐波那契数列示例 : ( 1 ) 斐波那契数列 : 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , \cdots ( 2 ) 递推方程 : F(n) = F(n-1) + F(n-2) 描述...写出斐波那契数列的特征方程并求解特征根 : 递推方程 : F(n) = F(n-1) + F(n-2) ( 1 ) 递推方程标准形式 : F(n) - F(n-1) - F(n-2) = 0 ( 2...写出斐波那契数列的通解 : 斐波那契数列递推方程的特征根是 : \cfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} ; q_1 = \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} , q_2 =...将递推方程初值代入 通解 , 求解通解中的常数: 斐波那契数列 递推方程初值 : F(0) = 1 , F(1) = 1 代入上述初值 F(0) = 1 , F(1) = 1 到 递推方程通解

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HOJ 2245 浮游三角胞（数学啊 ）

Zoidtrip是一个休闲向小游戏…… 玩家须要操纵一个以斜向下四十五度速度v不停前进的三角胞，不停地避开水平障碍物，每次点击屏幕能够变换行进方向。...第i层障碍物能够从横坐标l[i]~r[i]的范围内穿过去（包含l[i]与r[i]），第i层障碍物与第i-1层障碍物之间的距离为d[i]。 请问，假定在能够无限变换方向的条件下，最多能够前进至第几层?...输出一行，包括一个整数，代表最多前进至的层数。...例子1解释例如以下： 我们能够出生位置向右下移动至第一层坐标为1的地方。 接下来能够继续一直向右下移动至第二层坐标为6的地方。 但不管怎样也无法移动至第三层的8~10之间。...Source 哈尔滨理工大学第五届ACM程序设计竞赛 PS: 把 三角胞在每一层能走到的且满足能避开障碍物的最左和最右的距离找出来!

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【组合数学】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程求解 | 递推方程标准型及通解 | 递推方程通解证明 )

k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0 上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是 0 , 而是一个基于 n 的 函数 f(n) , 这种类型的递推方程称为...“常系数线性非齐次递推方程” ; 则上述递推方程的通解如下 : \overline{H(n)} 是上述递推方程对应 “常系数线性齐次递推方程” H(n) - a_1H(n-1) - \cdots...- a_kH(n-k) = 0 的通解 , H^*(n) 是一个特解 , “常系数线性非齐次递推方程” 的通解是 H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n) “常系数线性非齐次递推方程...与右侧的 f(n) 相等 ; 递推方程的任何一个解 , 都是一个 齐次通解 , 加上 一个特解 的格式 ; 二、递推方程通解证明 ---- 证明 : 递推方程的通解 , 一定 是一个 齐次通解 ,...- \cdots - a_kh(n-k) = f(n) 特解 H^*(n) 也是递推方程的解 , 将 H^*(n) 代入递推方程 , 左右也是相等的 , ② H^*(n) - a_1H^*(n

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