在区间[0，π/4]上以y= cos(x)，x−轴和y−轴为界的立体体积绕x轴旋转

这个问题涉及到数学中的立体体积计算和旋转体的概念。在区间[0，π/4]上以y= cos(x)，x−轴和y−轴为界的立体体积绕x轴旋转，可以使用定积分和旋转体积公式来求解。

首先，我们需要确定旋转体的截面形状。在这个问题中，截面形状是一个半径为y的圆，因为y=cos(x)是关于x轴对称的函数。所以，我们可以将问题转化为计算以y=cos(x)为半径的圆在区间[0，π/4]上的截面面积，并将这个面积沿x轴旋转一周所得到的体积。

计算截面面积可以使用圆的面积公式：A = π * r^2。在这里，r = cos(x)。所以，截面面积可以表示为：A = π * cos^2(x)。

然后，我们需要计算旋转体的体积。使用定积分来计算体积，可以将问题转化为计算截面面积函数在区间[0，π/4]上的定积分。即：V = ∫[0,π/4] π * cos^2(x) dx。

解决这个定积分可以得到旋转体的体积。具体的计算过程如下：

V = ∫[0,π/4] π * cos^2(x) dx = π * ∫[0,π/4] cos^2(x) dx = π * [x/2 + (1/4) * sin(2x)] |[0,π/4] = π * [(π/4)/2 + (1/4) * sin(2 * (π/4))] - 0 = π * [(π/8) + (1/4) * sin(π/2)] = π * [(π/8) + (1/4) * 1] = π * [(π/8) + 1/4] = π * [(π + 2)/8]

所以，区间[0，π/4]上以y= cos(x)，x−轴和y−轴为界的立体体积绕x轴旋转的结果是 π * [(π + 2)/8]。

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