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离散数学笔记第五章（图论 ）

)； 2.无向连通图G 含有欧拉通路，当且仅当 G 有零个或两个奇数度的结点； 3.有向连通图 D 是欧拉图，当且仅当该图为连通图且 D 中每个结点的入度=出度； 4.有向连通图 D 含有欧拉通路，当且仅当该图为连通图且...弗勒里算法 弗勒里(B.H.Fleury) 在1883 年给出了在欧拉图中找出一个欧拉环游的多项式时间算法，称为弗勒里算法(Fleury’salgorithm)。...遵循这样一个原则就可以找出图的一个欧拉环游来。 在有向图中也可以类似地定义有向环游、有向欧拉环游、有向欧拉图和有向欧拉迹的概念。...类似地，有如下定理：一个有向图是有向欧拉图当且仅当这个图中每个顶点的出度和入度相等。 [1] 哈密顿图 与欧拉图的情形不同，还未找到判断一个图是否是哈密顿图的非平凡的充要条件。...定理3： 在n(n≥2)阶有向图D=中，如果所有有向边均用无向边代替，所得无向图中含生成子图Kn，则有向图中存在哈密顿图。 推论： n(n≥3)阶有向完全图为哈密顿图。

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C++ 图论算法之欧拉路径、欧拉回路算法（一笔画完算法）

欧拉图的几个概念： 欧拉回路：指在图（无向图或有向图）中，经过图中所有边且只经过边一次所形成的回路，称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图。...如下图结构为欧拉图，从1号节点出发，经过所有边后可以重回到1号节点。 欧拉路径：指通过图中每条边且仅通过一次形成的路径（没有环）。具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。...欧拉路径中奇节点（连接该节点的边的数量为奇数）的个数为0或2。若奇节点的个数为0，则图中存在欧拉回路，欧拉回路也是欧拉路径的一种。把欧拉回路变成欧拉路径，只需要抽取出环中的一条边。...欧拉图的判定法： 无向图是欧拉图当且仅当：非零度顶点是连通的；顶点的度数都是偶数。 无向图是半欧拉图当且仅当：非零度顶点是连通的；恰有 2 个奇度顶点。...Tips： 根据欧拉图的判断法，下图中每一个节点都是偶节点，满足无向图是欧拉图的前提条件。 选节点1为起点，并将该起点加入路径中。Fleury算法选择栈存储欧拉路径。

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【计算理论】计算复杂性 ( NP 完全问题 | 顶点覆盖问题 | 哈密顿路径问题 | 旅行商问题 | 子集和问题 )

G , \rm G 的 点集覆盖 定义 : 找到 无向图 \rm G 的 点集子集 \rm V , 使得 无向图 \rm G 中的任何一条边 , 都与 点集子集 \rm V 的至少一个节点是接触的...哈密顿圈 , 经过所有顶点的 道路 称为 哈密顿道路 , 又称为 哈密顿路径 ; 哈密顿路径问题 就是 找到无向图中的哈密顿路径 ; 涉及到的其它概念 : … 途径 : 顶点和边的交替出现的序列..., 参考 【图论】简单 概念 及 公式 入门 ( 完全图 | 二部图 | 连通图 | 欧拉回路 | 哈密顿圈 | 平面图 | 欧拉定理 ) 博客中的 欧拉回路 与 哈密顿圈 ; 哈密顿路径问题 是...\rm NP 完全的 ; 无向图中哈密顿路径是否存在 , 该问题也是 \rm NP 完全的 ; 前者是求出具体的哈密顿路径 , 后者求哈密顿路径是否存在 ; 三、旅行商问题 ---- 旅行商问题...: 无向图中 , 每条边都有一个权重 , 求是否有一条哈密顿路径的权重之和 , 不超过给定的自然数 \rm W ; 旅行商问题 是 \rm NP 完全的 ; 四、子集和问题 ---- 子集和问题

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欧拉图和哈密顿图

;也有== ==对于有向图，若到可达,不一定有到一定可达;也不一定有== 在一个具有n个结点的图中,如果从结点到结点 , 存在一条通路则从结点到结点存在一条长度不大于n-1的基本通路。...G是强连通图的充分必要条件是G中存在一条经过所有结点的 回路 有向图G是单向连通图的充分必要条件是G中存在一条经过所有结点的 通路 欧拉图和欧拉通路/回路 设G是无孤立结点的图，若存在一条通路，经过图中每边一次且仅一次...，则称此通路为该图的欧拉通路(eulerian entry) 设G是无孤立结点的图，若存在一条回路，经过图中每边一次且仅一次，则称此回路为该图的欧拉回路(eulerian circuit) ,具有欧拉回路的图称为...欧拉图(eulerian graph) 以上定义既适合无向图也适合有向图 ==欧拉通路是经过图中所有边的通路中长度最短的通路，即通过图中所有边的简单通路== ==欧拉回路是经过图中所有边的回路中长度最短的回路...，即为通过图中所有边的简单回路== 欧拉图的判定和性质 无向图 G=具有一条 欧拉通路 ，当且仅当G是 连通的，且仅有零个或两个奇度数结点 无向图 G=具有一条 欧拉回路 ，当且仅当

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欧拉回路与欧拉路径

欧拉回路与欧拉路径 如果图G中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径(欧拉通路)。 如果一个回路是欧拉路径，则称为欧拉回路(Euler circuit)。...说的直白点，欧拉回路就是从一个点出发，经过每一条边恰好一次，最后能回到这个点的路径 例如下图中的红色路径组成了一个欧拉回路 ?...存在条件 欧拉回路的充要条件 无向图：所有点的度数都为偶数 有向图：所有点的入度都等于出度 欧拉路径的充要条件 无向图：除两点(起点与终点)外其余所有点的度数都为偶数 有向图：除两点(起点入度+1=出度...，终点入度-1等于出度)外，其余所有点的入度等于出度 判断方法 利用并查集判断 若给出的图满足欧拉回路/欧拉路径的重要条件且并查集成功合并的 次数\(>=\)点数\(-1\)，则证明含有欧拉回路/欧拉路径...将其中两个点加一条边后求欧拉路径，在这条边处断开变成两条路径即可。 时间复杂度

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图论-欧拉图-欧拉回路-Euler-Fluery-Hierholzer-逐步插入回路法-DFS详解-并查集

欧拉图性质： 1.无向连通图G是欧拉图，当且仅当G不含奇数度结点(G的所有结点度数为偶数)； 2.无向连通图G含有欧拉通路，当且仅当G有零个或两个奇数度的结点； 3.有向连通图D是欧拉图，当且仅当该图为连通图且...D中每个结点的入度=出度； 4.有向连通图D含有欧拉通路，当且仅当该图为连通图且D中除两个结点外，其余每个结点的入度=出度，且此两点满足deg－(u)－deg+(v)=±1。...（起始点s的入度=出度-1，结束点t的出度=入度-1 或两个点的入度=出度）； 对于欧拉图问题，有如下解决问题的方法： 1.Eular算法（欧拉算法），欧拉问题最标准的算法。...blog.csdn.net/liyanfeng1996/article/details/52767039 以上是网上的各种说法的总结，也就是只有这3种做法，暴力的搜索（1，3，4） 1.对于第一种方法只要有欧拉路径或者欧拉回路...，就可以使用，应该是可以用于无向图的，不过使用前需要判断节点的度，是否存在，复杂度有点高，也不用避免隔什么的感觉跟DFS很像，简单的题暴力就完事了。

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欧拉路和欧拉回路理论基础

基本概念   1）欧拉路    欧拉路是指从图中任意一点开始到任意一点结束的路径，并且图中每条边通过且只通过一次。也即可以一笔画出。   2）欧拉回路   欧拉回路是指起点和终点都相同的欧拉路。  ...3）无向连通图存在欧拉路的条件 所有点度都是偶数，或恰有两点度是奇数，则有欧拉路。若有奇数点度，则奇数度点必为欧拉路的起点和终点。  ...4）有向连通图存在欧拉路的条件   1.每个点的入度等于出度，则存在欧拉回路（任意一有出度的点都可作为起点）。   2.除两点外所有点入度等于出度。...这两点中一点出度比入度大1，另一点入度比出度小1，则存在欧拉路。取出度大者为起点，取入度大者为终点。    ...推荐例题： https://blog.csdn.net/qq_41603898/article/details/81232548    其他例题可以关注我的欧拉路分类

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清北NOIP训练营集训笔记——图论（提高组精英班）

强连通图：有向图中，任意一对点都满足强连通，则这个图被称为强连通图。 强联通分量：有向图中的极大强连通子图，就是强连通分量。...一般用Tarjan算法求有向图强连通分量： 欧拉路径与哈密顿路径： 1.欧拉路径：从某点出发一笔画遍历每一条边形成的路径。...欧拉回路：在欧拉路径的基础上回到起点的路径（从起点出发一笔画遍历每一条边）。 欧拉路径存在： 无向图：当且仅当该图所有顶点的度数为偶数 或者 除了两个度数为奇数外其余的全是偶数。...有向图：当且仅当该图所有顶点 出度=入度 或者 一个顶点 出度=入度+1，另一个顶点 入度=出度+1，其他顶点 出度=入度 欧拉回路存在： 无向图：每个顶点的度数都是偶数，则存在欧拉回路。...有向图：每个顶点的入度都等于出度，则存在欧拉回路。 求欧拉路径/欧拉回路算法常常用Fleury算法： 在这里推荐一个不错的知乎作者:神秘OIe 2.哈密顿路径：每个点恰好经过一次的路径是哈密顿路径。

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客户端基本不用的算法系列：从 floodfill 到图的连通性

于是我们引入以下几个定义： 割点：无向连通图中，去掉一个顶点及和它相邻的所有边，图中的连通分量数增加，则该顶点称为割点。...另外其他还有一些概念，我也一并列出，后面的所有场景可能会出现这些定义名称： 割点集合：在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合 V，删除顶点集合 V 以及与 V 中顶点相连（至少有一端在 V 中）的所有边后...有了这些关于无向图的定义（包括上一篇文章的欧拉路，欧拉图等），如果将对应场景的题目抽象建图，就可以解决更多的问题。...当输入单词集后，我们要证明生成的图是一个欧拉图，那么就要证明这个图是满足两个条件的： 图是连通的，即是一个连通图； 对于有向欧拉图来说，需要统计每个点的入度和出度满足：最多有两个点满足出度和入度数量不等...提炼重点 在上面的单词接龙中，我们需要掌握的是有向图如果处理欧拉图的问题。当我们判断一个图是否是欧拉图，需要先判断其连通性，再确定是否满足欧拉图的必要条件。

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图论基本概念（更新之中）

正则图：图中所有的节点有相同的度数。（r-正则图表示所有节点的度都是r） 无向图：边没有方向性。 有向图：边具有方向性。 加权图：是一种赋予了边值的图，这些值称为权重或者成本。...*有向图的边集由有序对构成，无向图的边集由无序对构成 度（无向图）：节点的度指的是与节点v邻接的节点数。记作：deg(v). 入度：以顶点v为终点的边的数目，称为v的入度。...对于n节点的无向完全图而言：因为每个节点的度为n-1,有n个节点，又有欧拉定理，可以得： |E(Kn)| = n(n-1)/2。...关于欧拉：欧拉被人称为：图论之父。欧拉定理也被称为：图论第一定理。 详见百度百科 。 欧拉定理： 在任何图中，节点度的和等于边数的两倍。 推论：在任何图中，节点度的总和是一个非负偶数。...k为标记图中连接了被标记节点的边的数目。 连同分量：在非连通图中，各个分支称为连同分量。严格来说，图的连同分量指的是极大连同子图。极大不是最大。

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纸上谈兵: 图 (graph)

欧拉时代的柯尼斯堡地图 柯尼斯堡的可以看作由7个边和4个节点构成的一个图: ? 这个问题最终被欧拉巧妙的解决。七桥问题也启发了一门新的数学学科——图论(graph theory)的诞生。...一个无序的边可以看作连接相同节点的两个反向的有序边，所以无向图可以理解为有向图的一种特殊情况。 (七桥问题中的图是无向的。...城市中的公交线路可以是无向的，比如存在单向环线) 图的一个路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$]，且对于[$1 \le i < n $]，有[$ (w_i, w_{...找到一条环路 如果从每个节点，到任意一个其它的节点，都有一条路径的话，那么图是连通的(connected)。对于一个有向图来说，这样的连通称为强连通(strongly connected)。...如果一个有向图不满足强连通的条件，但将它的所有边都改为双向的，此时的无向图是连通的，那么认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

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手把手：四色猜想、七桥问题…程序员眼里的图论，了解下？（附大量代码和手绘）

有限无向图G（V，E）的欧拉路径是一条使G的每条边出现并且只出现一次的路径。如果G有一条欧拉路径，那么就可以称之为欧拉图。...定理：一个有限无向连通图是一个欧拉图，当且仅当只有两个节点有奇数自由度或者所有节点都有偶数自由度。在后一种情况下，曲线图的每条欧拉路径都是一条闭环，前者则不是。...现在，知道什么是有限连通无向图后，让我们回到欧拉图： 为什么我们首先讨论了哥尼斯堡桥问题和欧拉图呢？...通过思考实际问题和上述解决方案，我们触及了图理论的基本概念（节点，边，有向，无向），避免了只有枯燥的理论。然而我们还未完全解决欧拉图和上述问题。...然而，像有效路径跟踪这样的例子就需要不同的表示了。还记得欧拉图吗？ 为了找到一个图具有“欧拉性”，我们应该在其中找到一个欧拉路径。

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最全的JavaScript 算法与数据结构

B 栈 B 哈希表 B 堆 B 优先队列 A 字典树 A 树 A 二叉查找树 A AVL 树 A 红黑树 A 线段树 - 使用 最小/最大/总和 范围查询示例 A 树状数组 (二叉索引树) A 图 (有向图与无向图...- 找到图中所有顶点的最短路径 A 贝尔曼-福特算法 - 找到图中所有顶点的最短路径 A 弗洛伊德算法 - 找到所有顶点对 之间的最短路径 A 判圈算法 - 对于有向图和无向图 (基于DFS和不相交集的版本...) A 普林演算法 - 寻找加权无向图的最小生成树 (MST) B 克鲁斯克尔演算法 - 寻找加权无向图的最小生成树 (MST) A 拓扑排序 - DFS 方法 A 关节点 - Tarjan算法 (基于...- 找到所有图顶点的最短路径 A 普里姆算法 - 寻找加权无向图的最小生成树 (MST) A 克鲁斯卡尔算法 - 寻找加权无向图的最小生成树 (MST) 分治法 - 将问题分成较小的部分, 然后解决这些部分...无重复) A 组合 (有/无重复) 动态编程 - 使用以前找到的子解决方案构建解决方案 B 斐波那契数 B 跳跃游戏 B 独特路径 B 雨水收集 - 疏导雨水问题 A 莱温斯坦距离 - 两个序列之间的最小编辑距离

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客户端基本不用的算法系列：图论的开端-七桥问题

像这样可以一口气走完的图，为了纪念 Euler 这一伟大的证明方法，在图论中被称为欧拉图，且其中经过的路径被称之为欧拉路径。...边（度）：连接图中每个节点的路径。 奇点：那些度（对于有向图来说就是出度+入度）数量是奇数的节点。 偶点：对应度的数量是偶数的节点。 欧拉图：可以完成一笔画的图。...欧拉路径：欧拉图中一笔画时经过的路径。 欧拉回路：欧拉图并且一笔画起点和终点相等（欧拉路径成环）的路经集合。...欧拉回路的解题模板 一下是求欧拉回路的 Fleury算法（你们根本想不到还有这种东西）： // 求欧拉回路或欧拉路，邻接阵形式，复杂度O（n^2）// 返回路径长度，path 返回路径(有向图是得到的是反向路径...)// 传入图的大小 n 和邻接阵 mat，不相交邻点边权0// 可以有自环与重边，分为无向图和有向图#define MAXN 100 void find_path_u(int n, int mat

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UVA10129：Play on Words（欧拉回路）

介绍：欧拉回路 如果图G中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径(Euler path)。 如果一个回路是欧拉路径，则称为欧拉回路(Euler circuit)。...欧拉回路是数学家欧拉在研究著名的德国哥尼斯堡(Koenigsberg)七桥问题时发现的。如图所示，流经哥尼斯堡的普雷格尔河（Pregel）中有两个岛，两个岛与两岸共4处陆地通过7座桥彼此相联。...欧拉大佬把七桥问题改写成了图。则问题变成了：能否从无向图中的一个结点出发走出一条道路，每条边恰好经过一次。这样的路线就叫欧拉路径，也可以形象地称为“一笔画”。 ?...在七桥问题中，所有4个点的度数均是奇数（这样的点称为奇点），因此不可能存在欧拉道路。 在此不加证明地给出欧拉道路和回路的存在条件，请结合生活实际验证： ?...那么介绍到这里，应该就可以自己动手编写这道欧拉路径的裸题了，先判断度数，再判断连通性即可。建议自己实现，有问题再参考别人程序。

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组装算法：为什么是k-mer?

寻找路径的方法：将每条reads用一个节点代替，如果u的末端与w的首端存在overlap即创建一个有向连接directed-edge（u，w），这样一个重叠群的reads就形成一个网络，组装的过程就可以理解为在网络中寻找一条最短路径...与OLC算法不同，DBG算法将组装过程转换为一个在De Bruijn图中寻找欧拉路径（Eulerian path）的问题（从某点出发经过且只经过一次所有的边），而欧拉路径是P类问题，即有可靠的充要条件证明欧拉路径的存在...(长度小于k的reads将被舍弃)； ②寻找k-mer之间的重叠关系，建立De Bruijn图，即对于任意两个k-mer，如果u的后k-1个碱基序列与w的前k-1个碱基序列相同，则建立一条由u指向w的有向边...； ③在De Bruijn图中寻找欧拉路径来获得结果序列Contigs。...采用DBG算法，通过k-1的overlap关系，构建DBG图，通过寻找欧拉路径得到Contig序列，算法可靠性更高，两者的区别如下所示： DBG算法将哈密顿路径问题转化为欧拉路径问题的关键在于De Bruijn

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