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用Eigen3快速求解稀疏正定线性方程组

Eigen3是一个C++模板库，用于线性代数运算。它提供了丰富的功能，包括矩阵和向量的基本运算、特征值和特征向量的计算、矩阵分解、线性方程组的求解等。

稀疏正定线性方程组是指系数矩阵为稀疏矩阵且正定的线性方程组。在实际应用中，这种线性方程组经常出现在科学计算、工程建模、图像处理等领域。

Eigen3提供了Sparse模块，用于处理稀疏矩阵的运算。对于稀疏正定线性方程组的求解，可以使用Eigen3的SparseLU或SparseQR模块。

SparseLU模块实现了稀疏矩阵的LU分解，可以用于求解稀疏正定线性方程组。它的优势在于可以高效地处理大规模稀疏矩阵，并且可以重复使用LU分解结果来求解不同的线性方程组。

SparseQR模块实现了稀疏矩阵的QR分解，也可以用于求解稀疏正定线性方程组。相比于SparseLU，SparseQR在处理某些特殊类型的稀疏矩阵时可能更高效。

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参考链接：

Eigen3官方网站：http://eigen.tuxfamily.org/
Eigen3 Sparse模块文档：http://eigen.tuxfamily.org/dox/group__Sparse__Module.html
腾讯云计算服务：https://cloud.tencent.com/product

相关搜索:不收敛:用牛顿-拉夫森法求解非线性方程组的根基于SimplicialCholesky特征的大型稀疏线性方程组求解用'nleqslv‘软件包求解非线性方程组用cupy求解矩形稀疏线性方程组用fsolve求解3个非线性方程组用lapacke_dgesv求解cpp中的线性方程组用MATLAB的符号引擎求解4×4的线性方程组用Prolog库单纯形法求解线性方程组用R求解多变量线性方程组用Scipy.Sparse实现GF(256)中稀疏矩阵的快速点乘

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线性代数--MIT18.06(三十二)

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Scipy 高级教程——稀疏矩阵

Python Scipy 高级教程：稀疏矩阵 Scipy 提供了处理稀疏矩阵的工具，这对于处理大规模数据集中的稀疏数据是非常有效的。...常用的稀疏矩阵类型有 csr_matrix（压缩稀疏行矩阵）、csc_matrix（压缩稀疏列矩阵）、coo_matrix（坐标列表稀疏矩阵）等。...这些操作在处理大规模稀疏数据时非常高效。 3. 稀疏矩阵的应用：线性代数求解稀疏矩阵在线性代数求解中有着广泛的应用。...]]) b = np.array([1, 2, 3]) # 使用 spsolve 求解线性方程组 Ax = b x = spsolve(A, b) print("线性方程组的解:") print(x...) 这里使用 spsolve 函数求解了一个稀疏矩阵的线性方程组。

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数值优化（5）——信赖域子问题的求解，牛顿法及其拓展

求解可以采用Lagrange乘数法和KKT条件的思路。你可以通过KKT条件得到前两个结论，然后通过反证法得到为一个对称半正定矩阵。...事实上，虽然这样的子问题是存在一个解析解的形式的，但是有一个问题是我们需要依赖一个线性方程组 ，我们需要求解这个才能够得到我们的解，如果对于一个规模很大的问题来说，这样的问题的求解就不再那么友好了...事实上通过这个性质，不难看出牛顿法的快速收敛性，但是存在的问题也很多。如果我们的迭代点并不靠近最小值，怎么保证收敛性呢？解方程的时候，如何保证搜索方向是下降方向呢？...最后提一个稀疏矩阵的处理技巧。如果说海塞矩阵比较的稀疏的话，可以考虑做一个行列变换，使得它非零元素的部分都堆积在右下角，这样的话会使得Cholesky分解得到的矩阵依然保持稀疏性。...这样会给求解这个方程组带来方便，因为这个方程组的求解非常简单，因为的结构均比较特殊，数值分析中有介绍专门的方法，这里就不细说了。

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迭代法迭代法的思路就是不停的考虑使用共轭梯度（CG）方法来解线性方程组（见第3节的线性共轭梯度法，链接如下：数值优化（3）——线搜索中的步长选取方法，线性共轭梯度法）。...比方说对于Schur补方法，我们的计算依赖的是对的处理，同时需要是对称正定阵（否则的话有的方程就无法用CG求解）。所以如果这个处理不耗时，又满足这个要求，那么Schur补方法就更好一些。...假如说我们一开始的迭代点为（这里因为上下标会同时出现，所以我们用下标来表示分量，上标表示迭代的次数，和之前的含义不同，注意区分），那么对应的工作集就是，所以这样的话我们就可以找到，这是因为对应的约束下...小结这一节我们主要介绍了二次规划的几种依赖线性方程组求解的方法和与单纯形法的出发点类似的激活集方法。...在这一节，我们也会发现，对于依赖线性方程组求解的方法，它们各有千秋，要理解它们计算的思路需要对数值分析的一些算法和它们的复杂度有比较深刻的了解。

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