Logistic Regression 为什么用极大似然函数

1. 简述 Logistic Regression

Logistic regression 用来解决二分类问题，

它假设数据服从伯努利分布，即输出为 正 负 两种情况，概率分别为 p 和 1-p，

目标函数hθ(x;θ) 是对 p 的模拟，p 是个概率，这里用了 p＝sigmoid 函数，

所以 目标函数 为：

损失函数是由极大似然得到，

记：

则可统一写成：

写出似然函数：

取对数：

求解参数可以用梯度上升：

先求偏导：

再梯度更新：

常用的是梯度下降最小化负的似然函数。

2. 先来看常用的几种损失函数：

几种损失函数的曲线：

黑色：Gold Stantard

绿色：Hinge Loss中，当 yf(x)>1 时，其损失=0，当 yf(x)

红色 Log、蓝色 Exponential： 在 Hinge的左侧都是凸函数，并且Gold Stantard损失为它们的下界

要求最大似然时(即概率最大化)，使用Log Loss最合适，一般会加上负号，变为求最小

损失函数的凸性及有界很重要，有时需要使用代理函数来满足这两个条件。

3. LR 损失函数为什么用极大似然函数？

因为我们想要让 每一个 样本的预测都要得到最大的概率，

即将所有的样本预测后的概率进行相乘都最大，也就是极大似然函数.

对极大似然函数取对数以后相当于对数损失函数，

由上面 梯度更新 的公式可以看出，

对数损失函数的训练求解参数的速度是比较快的，

而且更新速度只和x，y有关，比较的稳定，

为什么不用平方损失函数

如果使用平方损失函数，梯度更新的速度会和 sigmod 函数的梯度相关，sigmod 函数在定义域内的梯度都不大于0.25，导致训练速度会非常慢。

而且平方损失会导致损失函数是 theta 的非凸函数，不利于求解，因为非凸函数存在很多局部最优解。

学习资料：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/25021053

https://www.cnblogs.com/ModifyRong/p/7739955.html

https://zhuanlan.zhihu.com/p/34670728

http://www.cnblogs.com/futurehau/p/6707895.html

https://www.cnblogs.com/hejunlin1992/p/8158933.html

http://kubicode.me/2016/04/11/Machine%20Learning/Say-About-Loss-Function/