【AI for Science｜Adv. Mater.】基于神经算子表征与反向设计随机力学超材料

文章信息

题目：Characterization and Inverse Design of Stochastic Mechanical Metamaterials Using Neural Operators

作者：Hanxun Jin, Boyu Zhang, Qianying Cao, Enrui Zhang, Aniruddha Bora, Sridhar Krishnaswamy, George Em Karniadakis, Horacio D. Espinosa

单位：美国西北大学机械工程系；布朗大学应用数学部；布朗大学工程学院

期刊：Advanced Materials（Adv. Mater.），2025，37：2420063

DOI：10.1002/adma.202420063

创新亮点

基于两步式DeepONet（QR）的神经算子框架，直接从稀疏但高质量的原位显微实验数据学习随机旋节状微结构与非线性力学响应的函数映射，实现5–10%误差的前向预测及秒级筛选的反向设计。

研究背景与科学问题

传统超材料设计多依赖直觉与有限参数探索，难以高效覆盖非周期、随机微结构的巨大设计空间；尤其在非线性响应、失稳与损伤主导的微/纳尺度结构中，仿真数据稀缺、实验代价高。

现有逆向设计常依赖大规模FEA/MD数据或仅限于线弹性指标，难以应对工艺引入的缺陷和尺度效应，导致“数–实”偏差显著。

关键科学问题：如何在数据稀缺条件下，直接从实验出发，学习“微结构全应变程应力-应变曲线”的非线性函数到函数映射，并可靠地执行针对目标曲线的结构反向设计。

技术原理与创新点

核心原理：采用深度神经算子DeepONet，建立“微结构函数力学响应函数”的算子学习模型；以应变ε与伪时间t（加载/卸载阶段指示）为trunk输入，以3D结构的多向2D切片为branch输入，输出给定方向的应力预测。

两步式DeepONet（QR）：先训trunk再训branch，并对trunk输出做QR分解以提升泛化与可解释性；相较端到端同训更稳健。

等变性保持模块：对切片顺序置换不变、对空间主方向置换协变；通过方向内max pooling与元素级排序实现结构/方向编码，显式嵌入先验对称性，降低样本复杂度。

维度约简与数据增强：以3×n（n=7）组2D切片表征3D结构，显著压缩输入维度；利用相同相位角参数生成的相似旋节状结构进行样本扩充，假设其力学行为一致。

不确定性量化：多随机种子与多次实验配对训练6个代理模型，输出均值与方差，覆盖数据噪声与模型初始化不确定性。

对比基线：系统比较FNO、UNet等，验证两步式DeepONet在准确性与可解释性上的优势。

实验验证与性能

数据来源：29个代表性旋节状微结构（TPL制备），在SEM内原位微压缩获得三主方向全加载-卸载应力-应变曲线；对7个结构做重复实验以覆盖制备/结构不确定性。

前向预测：在未见结构上的三向曲线预测MSE=4.69×10^-3；关键力学指标回归R^2>0.98（应力、吸能、极限强度、刚度）；相较FNO显著更优（例如吸能R^2：DeepONet 0.985 vs FNO 0.836）。

非线性捕捉：准确再现实验中的各向异性、应变硬化（层片致密化）与应变软化（屈曲/开裂），总体预测误差约5–10%。

反向设计：给定4组未参与训练的目标曲线，秒级仅用前向传播筛选最优设计；预测相对L2误差1.18–14.61%，实物验证相对L2误差5.29–24.13%，多数在95%置信区间内；成功实现等向、强各向异性与显著软化等目标行为。

学术贡献

提出面向数据稀缺场景的两步式神经算子框架，实现“微结构全程非线性应力-应变曲线”的算子学习。

设计等变性保持单元，将微结构的方向/切片先验对称性注入网络结构，显著提升泛化与样本效率。

构建实验优先的材料反向设计流程，在无昂贵仿真的前提下，秒级完成目标曲线匹配与结构选优并经实物验证。

给出面向微/纳尺度超材料的可复用范式：原位高质量实验×神经算子×不确定性量化，实现非线性与损伤主导行为的可靠预测与设计。

局限性与未来方向

适用材料与工艺假设：本研究基于IP-Dip光刻树脂，曲线平滑、复现性好；对更脆性或缺陷主导材料（如玻碳、纳晶金属）需引入更强的统计学习、贝叶斯优化与不确定性量化。

数据配对近似：基于相位角参数的样本扩增假定“结构相似力学等价”，未来可引入结构相似度度量或弱标注学习以减弱该假设。

多保真融合：当有可用的降阶模型/快速仿真时，可构建多保真SciML，联合低成本仿真与高保真实验，进一步拓展适用范围与设计复杂度。

总结

本文以两步式DeepONet为核心，在极少量但高质量的原位实验数据条件下，实现了随机旋节状微结构的非线性力学表征与高效反向设计。该范式为数据稀缺下的“实验驱动材料设计”提供了可落地路径，对开发下一代多功能力学超材料具有直接启示。

图文赏析

图1. 基于有限且稀疏的原位显微力学实验数据的深度学习，用于各向异性随机微结构的前向建模与反向设计。A) 前向建模与反向设计示意图；B) 来自于在双光子光刻样品上的原位微压缩实验的训练数据采集。

图2. 旋节状微结构的原位微压缩实验。A) 三个主方向压缩测试的非线性与各向异性应力-应变曲线。小图显示微结构设计与笛卡尔坐标系；B–D) 分别为沿方向1、2、3加载样品在三个不同应变水平下的SEM图像。比例尺为20 µm。

图3. 将微结构与旋节材料应力-应变曲线关联的DeepONet结构。A) DeepONet结构示意。微结构被预处理为2D截面，表示为{φ(rs)}3,nr,s=1,1。这些截面依次经由branch网络与等变性保持单元处理。加载应变ε与伪时间t（指示加载/卸载步）输入trunk网络。最终输出是给定应变ε与加载步t下，对输入微结构的预测应力σ̂。B) 等变性保持单元的细节结构；m表示每个截面的branch网络输出向量维度。该单元旨在对截面置换保持不变性、对方向置换保持协变性。这通过对截面置换的最大池化（左）与对方向置换的结构/方向编码（右）实现。

图4. 两步式DeepONet（QR）与傅里叶神经算子（FNO）在预测未见微结构力学性能上的表现。A) 基于两步式DeepONet（QR）与FNO对五种典型旋节微结构的实验与预测应力-应变曲线。虚线为实验数据，实线为预测；阴影为两倍标准差。内插图为相应旋节微结构。对应相位角列于各自小图左侧。比例尺为50 µm。B) 各应力值、吸能、极限强度与刚度的预测与实验对比。红轴为实验与DeepONet预测，蓝轴为实验与FNO预测。

图5. 训练后的DeepONet在具有期望力学响应的旋节微结构反向设计中的结果。A) 案例I，B) 案例II，C) 案例III，D) 案例IV。所示曲线为目标应力-应变曲线（彩色实线）、DeepONet预测（彩色虚线）以及实验数据（黑色虚线），用于三个方向的对比。内插图为设计结构的SEM图像。比例尺为50 µm。