图的最短路径算法-Floyd算法-弗洛伊德算法

Floyd算法又称为插点法，是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法

    在计算机科学中，Floyd-Warshall算法是一种在具有正或负边缘权重（但没有负周期）的加权图中找到最短路径的算法。算法的单个执行将找到所有顶点对之间的最短路径的长度（加权）。 虽然它不返回路径本身的细节，但是可以通过对算法的简单修改来重建路径。 该算法的版本也可用于查找关系R的传递闭包，或（与Schulze投票系统相关）在加权图中所有顶点对之间的最宽路径。

  Floyd-Warshall算法是动态规划的一个例子，并在1962年由Robert Floyd以其当前公认的形式出版。然而，它基本上与Bernard Roy在1959年先前发表的算法和1962年的Stephen Warshall中找到图形的传递闭包基本相同，并且与Kleene的算法密切相关 在1956年）用于将确定性有限自动机转换为正则表达式。算法作为三个嵌套for循环的现代公式首先由Peter Ingerman在1962年描述。

   该算法也称为Floyd算法，Roy-Warshall算法，Roy-Floyd算法或WFI算法。

优缺点：

  Floyd算法适用于APSP(AllPairsShortestPaths)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。

  优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单

  缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。

时间复杂度:O(n^3)；空间复杂度:O(n^2)；

任意节点i到j的最短路径两种可能：

直接从i到j；

从i经过若干个节点k到j。

map（i，j）表示节点i到j最短路径的距离，对于每一个节点k，检查map（i，k）+map（k，j）小于map(i，j),如果成立，map（i，j） = map（i，k）+map（k，j）；遍历每个k，每次更新的是除第k行和第k列的数。

Floyd 第一迭代

Floyd 第二迭代

Floyd 第三迭代

大家试试能不能做出来下面的这道题：