数学中的悖论(1)

(1)说谎者悖论与古典逻辑:不真不假半真半假又真又假

说谎者悖论有许多个版本,最简单的版本就是这样的一句话:

“这句话是假的。”或者“我正在说谎。”

这句话完全符合悖论的一般定义,亦即在序言中提到的“如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的;如果承认它是假的,则反之经过推理又得出它是真的。”

最早有据可查的则是这样一个版本:

公元前6世纪,古希腊克里特岛哲学家埃庇米尼得斯说:“所有克里特人都是说谎者。”

显然,推敲这句话会陷入逻辑上的死循环。

说谎者悖论还可以推广到任意多句话,比如一张明信片,一面写着“反面写的是真的”,另一面写“反面写的是假的”。那么无论如何,都会推出矛盾。

在某些科幻小说中,这个悖论的变种被当作了逻辑炸弹,可以用来让人工智能当机。那个作家设想的人工智能大概是单线程,而且无法被打断的吧。

正常人,比如我女儿,听到这个悖论的反应是哈哈哈,而逻辑学家和哲学家们为了它争论了几百年。

争论的原因部分在于,古典逻辑,也就是我们一般使用的逻辑,认为一个论断非真即假,或者说,一个命题的真值只能取“真”和“假”两种。这样的逻辑体系中,无法容纳说谎者悖论。

于是,最简单的解决方法就是,认为“这句话是假的”是不真不假,或者是又真又假的。事实上,相对于古典的二值逻辑(只有真和假,或1),现在已经有了多值逻辑,模糊逻辑(比如,这句话为真的可能性为0.8)。为了不违反古典逻辑的矛盾律(不存在又真又假的命题)和排中律(两个相互矛盾的命题不能同时为假必有一个为真),古人也是绞尽脑汁,然而却并没有一个令人满意的结果。更多的学者倾向于认为,由于其形式上的问题,应该直接禁止这样的句子出现……

这“形式上的问题”,具体而言叫做自我指涉,也就是在论断中出现自身。自我指涉其实无法完全禁止,因为1)有时(不光是出于逻辑形式上)有此必要,比如张贴一张“此处禁止张贴告示”的告示;2)自我指涉也可能出现在多句相互论断的命题中,甚至自我指涉也不是出现此类悖论的唯一前提。

最后留一道趣题。写两句话,形如“AB是CDE”和”AB不是CDE”。例如,“今天是星期二”和“今天不是星期二”。那么,如何才能让这两句话同时为真呢?

  • 发表于:
  • 原文链接:http://kuaibao.qq.com/s/20180110G00FJ200?refer=cp_1026

扫码关注云+社区