全概率公式和贝叶斯公式

在我目前学到的概率论中，有两个相当重要的公式——全概率公式和贝叶斯公式，但是很多同学可能对这两个公式感到非常迷茫。一是不知道公式背后的意义所在，二是不知道这些公式有什么现实应用。

一、全概率公式

在讲全概率公式之前，首先要理解一个概念“完备事件组”.

我们将满足 $B_iB_j = \emptyset （i≠j）$,$B_1 + B_2 +… = Ω$，这样的一组事件称为一个“完备事件组”。简言之，所有的事件两两互斥，所有事件的并集是整个样本空间.

假设我们要研究事件$A$，我们希望能够求出$P（A）$，但是经过一番探索，却发现$P（A）$本身很难直接求出，不过却能够比较容易地求出各个$P（B_i）$，以及相应的条件概率$P（A|B_i）$。我们现在希望通过这些信息，间接的求出$P（A）$.

这当然可以，别忘了$B_i$是两两互斥的，即$A = AΩ = AB_1 + AB_2 + …$，显然，$AB_1,AB_2,AB_3,…$也是两两互斥的，那么上述式子就可以加上概率符号变为：$P（A） = P（AΩ） = P（AB_1 + AB_2 + …） = A（AB_1）+P（AB_2）+P（AB_3）+…$，我们看每一项$ \sum_{i = 1}^n P（AB_i）$其实利用概率的乘法公式，不就可以变为了$\sum_{i = 1}^n P（B_i）P（A|B_i）$吗，最终我们就推导出了全概率公式：

用图表示可能更好理解，$P（A）$本身并不好求，但我们可以根据他散落的“碎片”间接地将其求出。但不是所有的情况都能这样求出——必须保证$B_1,B_2,…$是一个完备事件组。这个其实很好理解，假如你想将一个碎掉的花瓶重新还原，碎片不全或者碎片之间出现了多余的“重叠”，还原工作都将以失败告终.

下面我们来看一个比较经典的例题.

某地盗窃风气盛行，且盗窃者屡教不改，我们根据以往的案件记录，推断出A今晚作案的概率是0.8，B今晚作案的概率是0.1，C今晚作案的概率是0.5，除此之外，还推断出A的得手率是0.1，B的得手率是1.0，C的得手率是0.5.那么今晚有东西被偷的概率是多少？

题目我们已经知道了，但是如何下手呢？我在上一篇文章中说到了，先“设事件”，不论怎么样，先把事件设出来，这样条理比较清楚.

设：$A:A$今晚作案；$B:B$今晚作案；$C:C$今晚作案；$S:$今晚有东西被偷

则：$P（A） = 0.8,P（B） = 0.1,P（C） = 0.5$

$P（S|A） = 0.1,P（S|B） = 0.7,P（S|C） = 0.2$

那么所求的$P（S） = P（A）P（S|A） + P（B）P（S|B） + P（C）P（S|C） = 0.25$

看来今晚被偷的可能性比较小.

二、贝叶斯公式

有了前面的基础，我们现在先直接给出贝叶斯公式：

这个公式本身平平无奇，无非就是条件概率的定义加上全概率公式一起做出的一个推导而已（分子由乘法公式推出，分母由全概率公式推出）。但它所表达的意义却非常深刻.

在全概率公式中，如果将$A$看成是“结果”，$B_i$看成是导致结果发生的诸多“原因”之一，那么全概率公式就是一个“原因推结果”的过程。但贝叶斯公式恰恰相反。贝叶斯公式中我们知道$A$已经发生了，所要做的是反过来研究造成结果发生的原因，该原因造成的可能性有多大，即“结果推原因”

举个例子：

假设某种病菌在人口中的带菌率为0.03，由于技术落后等等原因，使得带菌者有时未被检测出阳性反应，不带菌者也可能会被检测出阳性反应。有如下数据：

    $A:$这个人带菌，$B:$检测结果为阳性.

$P（B|A） = 0.99$，$P（\bar B|A） = 0.01$，$P（B|\bar A） = 0.05$，$P（\bar B|\bar A） = 0.95$

结果竟然连40%都没有，问题出在哪里？我们没有注意到，带菌率低到只有0.03，甚至比误检率还要低。也就是说，在一大批人里可以检查出一堆阳性的，而这堆阳性的人里面真正带菌的，也只是一小部分而已.

总结一下

全概率公式和贝叶斯公式是正好相反的两个求概率的公式

全概率公式用于求最后的结果概率，贝叶斯公式应用于已知最后结果，求原因的概率.

建议在做题的时候，如果遇到贝叶斯公式的问题，先把完备事件组画在旁边.