《机器学习技法》学习笔记02——对偶SVM

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对偶SVM的目标

如果是非线性SVM，那么问题变成了：

zn是xn在d+1z_n是x_n在d+1高维空间映射所得到的值，于是就出现了困境：

对偶SVM的目标就是：

我们由拉格朗日乘子法得：

因为yn(wTzn+b)>=1y_n(w^Tz_n+b)>=1 所以1−yn(wTzn+b)<=01-y_n(w^Tz_n+b)<=0 为了让符号不变，我们规定αn>=0α_n >=0 ， 则αn（1−yn(wTzn+b)<=0）α_n（1-y_n(w^Tz_n+b)<=0） 则1/2wTw+αn(1−yn(wTzn+b)<=0)<=1/2wTw1/2w^Tw+α_n(1-y_n(w^Tz_n+b)<=0)<=1/2w^Tw 则max(1/2wTw+αn（1−yn(wTzn+b)<=0))约等于1/2wTwmax(1/2w^Tw+α_n（1-y_n(w^Tz_n+b)<=0)) 约等于 1/2w^Tw 所以我们的问题就变成了：

下面式子中方括号代表1/2wTw1/2w^Tw，如果超平面分割预测和真实点的函数值yn(wTzn+b)y_n(w^Tz_n+b)有误or正确却在间隔带内，则yn(wTzn+b)<1y_n(w^Tz_n+b) < 1，则1−yn(wTzn+b)>01-y_n(w^Tz_n+b) > 0 ,则max(L(b,w,α))趋于无穷。 yn(wTzn+b)y_n(w^Tz_n+b)正确且在间隔带外（包含间隔带边界），则yn(wTzn+b)>=1y_n(w^Tz_n+b) >= 1，则1−yn(wTzn+b)<=01-y_n(w^Tz_n+b) <= 0 ,则max(L(b,w,α))=1/2wTwmax(L(b,w,α))=1/2w^Tw

于是我们的问题就变成：

拉格朗日对偶SVM

上式问题并不好解。我们有：

由于上式右边的最大值还是要小于等于左边式子，于是我们就得到了拉格朗日对偶问题：

当上式符合约束规格时等号就成立。约束规格： 1.是凸优化 2.存在解 3.约束条件是线性的

这里符合约束规格，于是我们的问题变成了：

这样括号里面就成了只是关于b和w的问题，我们可以先求括号里面。对L关于b求导：

把它代入问题中，就消去了b：

再对L关于w求导：

把它代入问题得到：

该问题最优化需要符合KKT条件： 1.原问题约束：

2.对偶问题约束：

3.原问题的最优化条件：

4.对偶问题的最优化条件：

求解对偶SVM

对问题乘以-1，得到最小化问题：

当我们用KKT条件求解出二次规划最优解αnα_n之后，我们如何求解w和b呢？ w很简单，就用对偶问题的最优化条件能求出来。 求解b，由原问题约束、对偶问题约束和原问题的最优化条件可知:

对偶问题背后的意义

我们之前说过，“寻找与超平面最近的点”，所以除边界上的点外，其他点对优化没有意义。 我们称αn>0α_n>0 的(zn,yn)(z_n ,y_n )为支持向量：

我们也可以看到，其实也只有边界上的支持向量才会代入计算：

从另外一个角度看，无论是SVM 还是 PLA，w都是ynzny_nz_n的组合，可以看成是由数据表示出来的：

我们来回顾下对偶SVM的目标：

我们已经基本上达成这个目标：

但是我们还留有一个问题，QDQ_D中：

所以搞了半天，依旧存在z，即依旧存在x到d+1高维空间的映射，d依旧可能非常大甚至趋于无穷。这该如何是好呢，请听下回分解~