简单易学的机器学习算法——Rosenblatt感知机的对偶解法

felixzhao

发布于 2019-02-27 16:33:25

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发布于 2019-02-27 16:33:25

一、Rosenblatt感知机回顾

在博文“简单易学的机器学习算法——Rosenblatt感知机”中介绍了Rosenblatt感知机的基本概念。Rosenblatt感知机是针对线性可分问题的二分类算法。通过构造分离超平面将正类和负类区分开。构造了如下的输入空间到输出空间的函数：

其中，

为权重，

为偏置。

为符号函数：

求解这个函数的重点就是求解函数中的参数：

和

。Rosenblatt感知机通过构造损失函数

，并求得使得这样的损失函数达到最小时的

和

。

其中，

为：

这里的

为所有误分类的点的集合。我们的目标是求得损失函数的最小值：

。

通过梯度下降法(详细请见“简单易学的机器学习算法——Rosenblatt感知机”)，我们得到了

和

的更新公式：

其中，

为学习率。

二、Rosenblatt感知机的对偶形式

对偶形式的基本想法是，将

和

表示为实例

和标记

的线性组合的形式，通过求解其系数而求得

和

。

通过上面的

和

的更新公式，我们发现，

和

是一个累加的过程。如果令

，

，则

和

可以表示为：

其中，

。

此时的感知机模型就变为：

三、算法流程

初始化

，

选择误分类数据点，即

，更新

和

直到没有误分类的点，否则重复步骤2
计算出

四、实验的仿真

利用博文“简单易学的机器学习算法——Rosenblatt感知机”中的数据集，原始数据集如下图所示：

(原始数据点)

MATLAB代码

%% Rosenblatt感知机的对偶解法
clear all;
clc;

%读入数据
x=[3,3;4,3;1,1];
y=[1;1;-1];
[m,n] = size(x);%取得数据集的大小

%% 画出原始的点
hold on
axis([0 5 0 5]);%axis一般用来设置axes的样式，包括坐标轴范围，可读比例等
for i = 1:m
    plot(x(i,1),x(i,2),'.');
end

%% 初始化
alpha = zeros(1,m);
b = 0;
yita = 1;%学习率
gram = zeros(m,m);

%% 计算Gram矩阵
for i = 1:m
    for j = 1:m
        gram(i,j)=x(i,:)*x(j,:)';
    end
end

%% 更新
for i = 1:m
    tmp = 0;
    for j = 1:m
        tmp = tmp + alpha(j)*y(j)*gram(i,j);
    end
    tmp = tmp + b;
    tmp = y(i)*tmp;
    if tmp <= 0
        alpha(i) = alpha(i)+yita;
        b = b + y(i);
    end
end
% 要使得数据集中没有误分类的点
flag = 0;%标志位，用于标记有没有误分类的点
i = 1;
while flag~=1
    while i <= 3
        tmp = 0;
        for j = 1:m
            tmp = tmp + alpha(j)*y(j)*gram(i,j);
        end
        tmp = tmp + b;
        tmp = y(i)*tmp;
        if tmp <= 0
            alpha(i) = alpha(i)+yita;
            b = b + y(i);
            i = 1;%重置i
            break;
        else
            i = i+1;
        end
        if i == 4
            flag = 1;
        end
    end
end

%% 重新计算w和b
for i = 1:m
    x_new(i,:) = x(i,:) * y(i);
end
w = alpha * x_new;

%% 画出分隔线
x_1 = (0:3);
y_1 = (-b-w(1,1)*x_1)./w(1,2);
plot(x_1,y_1);

最终的分离超平面：