距离产生美?k近邻算法python实现

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1. 什么是k近邻算法?

k最近邻(k-Nearest Neighbor,kNN)分类算法是一个比较成熟也是最简单的机器学习(Machine Learning)算法之一。该方法的思路是:如果一个样本在特征空间中与k个实例最为相似(即特征空间中最邻近),那么这k个实例中大多数属于哪个类别,则该样本也属于这个类别。

其中,计算样本与其他实例的相似性一般采用距离衡量法。离得越近越相似,离得越远越不相似。

如上图所示,k=3,距离绿色样本最近的3个实例中(圆圈内),有两个是红色三角形(正类)、一个是蓝色正方形(负类)。则该样本属于红色三角形(正类)。

2. k近邻算法的本质

我们知道,一般机器学习算法包括两个过程:训练过程和测试过程。训练过程通过使用机器学习算法在训练样本上迭代训练,得到较好的机器学习模型;测试过程是使用测试数据来验证模型的好坏,通过正确率来呈现。kNN算法的本质是在训练过程中,它将所有训练样本的输入和输出标签(label)都存储起来。测试过程中,计算测试样本与每个训练样本的距离,选取与测试样本距离最近的前k个训练样本。然后对着k个训练样本的label进行投票,票数最多的那一类别即为测试样本所归类。

其实,kNN算法非常简单,可以说在训练过程中基本没有算法参与,只有存储训练样本。可以说KNN算法实际上是一种识记类算法。因此,kNN虽然简单,但是其明显包含了以下几个缺点:

  • 整个训练过程需要将所有的训练样本极其输出label存储起来,因此,空间成本很大。
  • 测试过程中,每个测试样本都需要与所有的训练样本进行比较,运行时间成本很大。
  • 采用距离比较的方式,分类准确率不高。

好了,介绍完了kNN算法的理论知识之后,我相信大家都跃跃欲试了。接下来,我们就来手把手教大家使用Python实现一个kNN分类问题,进入机器学习实战大门。开始吧~

3. 数据准备

首先,数据集我们选择经典的鸢尾花卉数据集(Iris)。Iris数据集每个样本x包含了花萼长度(sepal length)、花萼宽度(sepal width)、花瓣长度(petal length)、花瓣宽度(petal width)四个特征。样本标签y共有三类,分别是Setosa,Versicolor和Virginica。Iris数据集总共包含150个样本,每个类别由50个样本,整体构成一个150行5列的二维表,如下图展示了10个样本:

如何获取这些数据呢?很简单,我们可以使用代码,直接从网上下载,下载后的数据集存放在’../data/’目录下。

import numpy as np
import pandas as pd

data = pd.read_csv('https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/iris/iris.data', header=None)    # 下载iris数据集
#data = pd.read_csv('./data/iris.data.csv', header=None)
data.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'species']    # 特征及类别名称

然后,我们将三个类别的数据分别提取出来,setosa、versicolor、virginica分别用0、1、2来表示。

X = data.iloc[0:150, 0:4].values
y = data.iloc[0:150, 4].values
y[y == 'Iris-setosa'] = 0                                 # Iris-setosa 输出label用0表示
y[y == 'Iris-versicolor'] = 1                             # Iris-versicolor 输出label用1表示
y[y == 'Iris-virginica'] = 2                              # Iris-virginica 输出label用2表示
X_setosa, y_setosa = X[0:50], y[0:50]                     # Iris-setosa 4个特征
X_versicolor, y_versicolor = X[50:100], y[50:100]         # Iris-versicolor 4个特征
X_virginica, y_virginica = X[100:150], y[100:150]         # Iris-virginica 4个特征

接下来看一下三种类别不同特征的空间分布。为了可视性,我们只选择sepal length和petal length两个特征,在二维平面上作图。

import matplotlib.pyplot as plt

plt.scatter(X_setosa[:, 0], X_setosa[:, 2], color='red', marker='o', label='setosa')
plt.scatter(X_versicolor[:, 0], X_versicolor[:, 2], color='blue', marker='^', label='versicolor')
plt.scatter(X_virginica[:, 0], X_virginica[:, 2], color='green', marker='s', label='virginica')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('petal length')
plt.legend(loc = 'upper left')
plt.show()

由上图可见,三个类别之间是有较明显区别的。

接下来,我们要将每个类别的所有样本分成训练样本(training set)、验证集(validation set)和测试样本(test set),各占所有样本的比例分别为60%,20%,20%。

# training set
X_setosa_train = X_setosa[:30, :]
y_setosa_train = y_setosa[:30]
X_versicolor_train = X_versicolor[:30, :]
y_versicolor_train = y_versicolor[:30]
X_virginica_train = X_virginica[:30, :]
y_virginica_train = y_virginica[:30]
X_train = np.vstack([X_setosa_train, X_versicolor_train, X_virginica_train])
y_train = np.hstack([y_setosa_train, y_versicolor_train, y_virginica_train])

# validation set
X_setosa_val = X_setosa[30:40, :]
y_setosa_val = y_setosa[30:40]
X_versicolor_val = X_versicolor[30:40, :]
y_versicolor_val = y_versicolor[30:40]
X_virginica_val = X_virginica[30:40, :]
y_virginica_val = y_virginica[30:40]
X_val = np.vstack([X_setosa_val, X_versicolor_val, X_virginica_val])
y_val = np.hstack([y_setosa_val, y_versicolor_val, y_virginica_val])

# test set
X_setosa_test = X_setosa[40:50, :]
y_setosa_test = y_setosa[40:50]
X_versicolor_test = X_versicolor[40:50, :]
y_versicolor_test = y_versicolor[40:50]
X_virginica_test = X_virginica[40:50, :]
y_virginica_test = y_virginica[40:50]
X_test = np.vstack([X_setosa_test, X_versicolor_test, X_virginica_test])
y_test = np.hstack([y_setosa_test, y_versicolor_test, y_virginica_test])

4. kNN训练函数和预测函数

kNN的训练过程实际上是一种数据标类、数据存储的过程,不包含机器学习算法。首先我们需要定义一个类(class)来实现KNN算法模块。该类的初始化定义为:

class KNearestNeighbor(object):
   def __init__(self):
       pass

然后,在KNearestNeighbor类中定义训练函数,训练函数保存所有训练样本。

def train(self, X, y):
   self.X_train = X
   self.y_train = y

kNN的测试过程是核心部分。其中,有两点需要注意:

  • 衡量距离的方式
  • k值的选择

kNN距离衡量一般有两种方式:L1距离和L2距离。

L1距离的计算公式为:

d1(I1,I2)=∑p|Ip1−Ip2|d1(I1,I2)=∑p|I1p−I2p|

d1(I_1,I_2)=\sum_p|I_1^p-I_2^p|

其中,I1和I2分别表示两个样本,p表示特征维度。

L2距离的计算公式为:

d2(I1,I2)=∑p(Ip1−Ip2)2−−−−−−−−−−−√d2(I1,I2)=∑p(I1p−I2p)2

d2(I_1,I_2)=\sqrt{\sum_p(I_1^p-I_2^p)^2}

一般来说,L1距离和L2距离都比较常用。需要注意的是,如果两个样本距离越大,那么使用L2会继续扩大距离,即对距离大的情况惩罚性越大。反过来说,如果两个样本距离较小,那么使用L2会缩小距离,减小惩罚。也就是说,如果想要放大两个样本之间的不同,使用L2距离会更好一些。这里,我们使用最常用的L2距离。

kNN中的k值选择至关重要,不同的k值也许能归属到不同的类别中,例如在下图中,k=3,则判定绿色实例属于红色三角形类别。

但是,如果令k=5,如下图所示,则会判定绿色实例属于蓝色正方形类别。

一般来说,k值太小会使模型过于复杂,造成过拟合(overfitting);k值太大会使模型分类模糊,造成欠拟合(underfitting)。实际应用中,我们可以选择不同的k值,通过验证来决定K值大小。代码中,我们将k设定为可调参数。

在KNearestNeighbor类中定义预测函数:

def predict(self, X, k=1)
   # 计算L2距离
   num_test = X.shape[0]
   num_train = self.X_train.shape[0]
   dists = np.zeros((num_test, num_train))    # 初始化距离函数
   # because(X - X_train)*(X - X_train) = -2X*X_train + X*X + X_train*X_train, so
   d1 = -2 * np.dot(X, self.X_train.T)    # shape (num_test, num_train)
   d2 = np.sum(np.square(X), axis=1, keepdims=True)    # shape (num_test, 1)
   d3 = np.sum(np.square(self.X_train), axis=1)    # shape (1, num_train)
   dist = np.sqrt(d1 + d2 + d3)
   # 根据K值,选择最可能属于的类别
   y_pred = np.zeros(num_test)
   for i in range(num_test):
       dist_k_min = np.argsort(dist[i])[:k]    # 最近邻k个实例位置
       y_kclose = self.y_train[dist_k_min]     # 最近邻k个实例对应的标签
       y_pred[i] = np.argmax(np.bincount(y_kclose))    # 找出k个标签中从属类别最多的作为预测类别

   return y_pred

KNearestNeighbor类的完整定义代码如下:

class KNearestNeighbor(object):
   def __init__(self):
       pass

   # 训练函数
   def train(self, X, y):
       self.X_train = X
       self.y_train = y

   # 预测函数
   def predict(self, X, k=1):
       # 计算L2距离
       num_test = X.shape[0]
       num_train = self.X_train.shape[0]
       dists = np.zeros((num_test, num_train))    # 初始化距离函数
       # because(X - X_train)*(X - X_train) = -2X*X_train + X*X + X_train*X_train, so
       d1 = -2 * np.dot(X, self.X_train.T)    # shape (num_test, num_train)
       d2 = np.sum(np.square(X), axis=1, keepdims=True)    # shape (num_test, 1)
       d3 = np.sum(np.square(self.X_train), axis=1)    # shape (1, num_train)
       dist = np.sqrt(d1 + d2 + d3)
       # 根据K值,选择最可能属于的类别
       y_pred = np.zeros(num_test)
       for i in range(num_test):
           dist_k_min = np.argsort(dist[i])[:k]    # 最近邻k个实例位置
           y_kclose = self.y_train[dist_k_min]     # 最近邻k个实例对应的标签
           y_pred[i] = np.argmax(np.bincount(y_kclose.tolist()))    # 找出k个标签中从属类别最多的作为预测类别

       return y_pred

5. 训练和预测

首先,创建一个KnearestNeighbor实例对象。

然后,在验证集上进行k-fold交叉验证。选择不同的k值,根据验证结果,选择最佳的k值。

可见,k值取3的时候,验证集的准确率最高。此例中,由于总体样本数据量不够多,所以验证结果并不明显。但是使用k-fold交叉验证来选择最佳k值是最常用的方法之一。

选择完合适的k值之后,就可以对测试集进行预测分析了。

KNN.train(X_train, y_train)
y_pred = KNN.predict(X_test, k=6)
accuracy = np.mean(y_pred == y_test)
print('测试集预测准确率:%f' % accuracy)

测试集预测准确率:1.000000

最终结果显示,测试集预测准确率为100%。

最后,我们把预测结果绘图表示。仍然只选择sepal length和petal length两个特征,在二维平面上作图。

# 训练集
plt.scatter(X_setosa_train[:, 0], X_setosa_train[:, 2], color='red', marker='o', label='setosa_train')
plt.scatter(X_versicolor_train[:, 0], X_versicolor_train[:, 2], color='blue', marker='^', label='versicolor_train')
plt.scatter(X_virginica_train[:, 0], X_virginica_train[:, 2], color='green', marker='s', label='virginica_train')
# 测试集
plt.scatter(X_setosa_test[:, 0], X_setosa_test[:, 2], color='y', marker='o', label='setosa_test')
plt.scatter(X_versicolor_test[:, 0], X_versicolor_test[:, 2], color='y', marker='^', label='versicolor_test')
plt.scatter(X_virginica_test[:, 0], X_virginica_test[:, 2], color='y', marker='s', label='virginica_test')

plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('petal length')
plt.legend(loc = 4)
plt.show()

6. k近邻算法总结

k近邻算法是一种最简单最直观的分类算法。它的训练过程保留了所有样本的所有特征,把所有信息都记下来,没有经过处理和提取。而其它机器学习算法包括神经网络则是在训练过程中提取最重要、最有代表性的特征。在这一点上,kNN算法还非常不够“智能”。但是,kNN算法作为机器学习的基础算法,还是值得我们了解一下的。

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