在有向图G中,如果两点互相可达,则称这两个点强连通,如果G中任意两点互相可达,则称G是强连通图。
定理: 1、一个有向图是强连通的,当且仅当G中有一个回路,它至少包含每个节点一次。
**2、非强连通有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(SCC即Strongly Connected Componenet)。**
在上图中,{1,2,3,4}是一个强连通分量,{5},{6}分别是另外两个强连通分量。怎么判断一个图是否是强连通图,如果不是,有哪些强连通分量,又怎么使它成为强连通图呢?
理解:
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。总的来说, Tarjan算法基于一个观察,即:同处于一个SCC中的结点必然构成DFS树的一棵子树。 我们要找SCC,就得找到它在DFS树上的根。
算法思想如下:
dfnu表示dfs时达到顶点u的次序号(时间戳),lowu表示以u为根节点的dfs树中次序号最小的顶点的次序号,所以当dfnu=lowu时,以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。 先将顶点u入栈,dfnu=lowu=++idx,扫描u能到达的顶点v,如果v没有被访问过,则dfs(v),lowu=min(lowu,lowv),如果v在栈里,lowu=min(lowu,dfnv),扫描完v以后,如果dfnu=lowu,则将u及其以上顶点出栈。
图解(一定要仔细从左往右看):
模板(Tarjan算法)
void tarjan(int pos){
vis[stack[++index]=pos]=1;//入栈并标记
LOW[pos]=DFN[pos]=++dfs_num;
for(int i=pre[pos];i;i=E[i].next){
if(!DFN[E[i].to]){
tarjan(E[i].to);
LOW[pos]=min(LOW[pos],LOW[E[i].to]);
}
else if(vis[E[i].to]) LOW[pos]=min(LOW[pos],DFN[E[i].to]);
}
if(LOW[pos]==DFN[pos]){
vis[pos]=0;
size[dye[pos]=++CN]++;//染色及记录强连通分量大小
while(pos!=stack[index]){
vis[stack[index]]=0;
size[CN]++;//记录大小
dye[stack[index--]]=CN;//弹栈并染色
}
index--;
}
}
模板(完整Tarjan):
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
int n,m,idx=0,k=1,Bcnt=0;
int head[100];
int ins[100]={0};
int dfn[100]={0},low[100]={0};
int Belong[100];
stack <int> s;
struct edge
{
int v,next;
}e[100];
int min(int a,int b)
{
return a<b?a:b;
}
void adde(int u,int v)
{
e[k].v=v;
e[k].next=head[u];
head[u]=k++;
}
void readdata()
{
int a,b;
memset(head,-1,sizeof(head));
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
adde(a,b);
}
}
void tarjan(int u)
{
int v;
dfn[u]=low[u]=++idx;//每次dfs,u的次序号增加1
s.push(u);//将u入栈
ins[u]=1;//标记u在栈内
for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)//访问从u出发的边
{
v=e[i].v;
if(!dfn[v])//如果v没被处理过
{
tarjan(v);//dfs(v)
low[u]=min(low[u],low[v]);//u点能到达的最小次序号是它自己能到达点的最小次序号和连接点v能到达点的最小次序号中较小的
}
else if(ins[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);//如果v在栈内,u点能到达的最小次序号是它自己能到达点的最小次序号和v的次序号中较小的
}
if(dfn[u]==low[u])
{
Bcnt++;
do
{
v=s.top();
s.pop();
ins[v]=0;
Belong[v]=Bcnt;
}while(u != v);
}
}
void work()
{
for(int i=1;i<=n;i++)if(!dfn[i])tarjan(i);
printf("\n");
for(int i = 1;i <= 6;i++)printf("%d %d\n",dfn[i],low[i]);
printf("共有%d强连通分量,它们是:\n",Bcnt);
for(int i=1;i<=Bcnt;i++)
{
printf("第%d个:",i);
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(Belong[j]==i)printf("%d ",j);
}
printf("\n");
}
}
int main()
{
readdata();
work();
return 0;
}
/*
6 8
1 2
1 3
2 4
3 4
3 5
4 1
4 6
5 6
*/