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浅析强连通分量 Tarjan

写的巨好:源地址

理解

在有向图G中,如果两点互相可达,则称这两个点强连通,如果G中任意两点互相可达,则称G是强连通图。

定理: 1、一个有向图是强连通的,当且仅当G中有一个回路,它至少包含每个节点一次。

2、非强连通有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(SCC即Strongly Connected Componenet)。

在上图中,{1,2,3,4}是一个强连通分量,{5},{6}分别是另外两个强连通分量。怎么判断一个图是否是强连通图,如果不是,有哪些强连通分量,又怎么使它成为强连通图呢?

Tarjan算法

理解:

  Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。总的来说, Tarjan算法基于一个观察,即:同处于一个SCC中的结点必然构成DFS树的一棵子树。 我们要找SCC,就得找到它在DFS树上的根。

算法思想如下:

   dfn[u]表示dfs时达到顶点u的次序号(时间戳),low[u]表示以u为根节点的dfs树中次序号最小的顶点的次序号,所以当dfn[u]=low[u]时,以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。 先将顶点u入栈,dfn[u]=low[u]=++idx,扫描u能到达的顶点v,如果v没有被访问过,则dfs(v),low[u]=min(low[u],low[v]),如果v在栈里,low[u]=min(low[u],dfn[v]),扫描完v以后,如果dfn[u]=low[u],则将u及其以上顶点出栈。

图解(一定要仔细从左往右看):

例题

模板(Tarjan算法)

void tarjan(int pos){
    vis[stack[++index]=pos]=1;//入栈并标记
    LOW[pos]=DFN[pos]=++dfs_num;
    for(int i=pre[pos];i;i=E[i].next){
        if(!DFN[E[i].to]){
            tarjan(E[i].to);
            LOW[pos]=min(LOW[pos],LOW[E[i].to]);
        }
        else if(vis[E[i].to]) LOW[pos]=min(LOW[pos],DFN[E[i].to]);
    }
    if(LOW[pos]==DFN[pos]){
        vis[pos]=0;
        size[dye[pos]=++CN]++;//染色及记录强连通分量大小
        while(pos!=stack[index]){
            vis[stack[index]]=0;
            size[CN]++;//记录大小
            dye[stack[index--]]=CN;//弹栈并染色
        }
        index--;
    }
}

模板(完整Tarjan):

#include <cstdio>
#include <stack>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
int n,m,idx=0,k=1,Bcnt=0;
int head[100];
int ins[100]={0};
int dfn[100]={0},low[100]={0};
int Belong[100];
stack <int> s;
struct edge
{
    int v,next;
}e[100];
int min(int a,int b)
{
    return a<b?a:b;
}
void adde(int u,int v)
{
     e[k].v=v;
     e[k].next=head[u];
     head[u]=k++;
}
void readdata()
{
     int a,b;
     memset(head,-1,sizeof(head));
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=1;i<=m;i++)
     {
         scanf("%d%d",&a,&b);
         adde(a,b);
     }
}
void tarjan(int u)
{
     int v;
     dfn[u]=low[u]=++idx;//每次dfs,u的次序号增加1
     s.push(u);//将u入栈
     ins[u]=1;//标记u在栈内
     for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)//访问从u出发的边
     {
         v=e[i].v;
         if(!dfn[v])//如果v没被处理过
         {
             tarjan(v);//dfs(v)
             low[u]=min(low[u],low[v]);//u点能到达的最小次序号是它自己能到达点的最小次序号和连接点v能到达点的最小次序号中较小的
         }
         else if(ins[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);//如果v在栈内,u点能到达的最小次序号是它自己能到达点的最小次序号和v的次序号中较小的
     }     
     if(dfn[u]==low[u])
     {
         Bcnt++;
         do
         {
             v=s.top();
             s.pop();
             ins[v]=0;
             Belong[v]=Bcnt;
         }while(u != v);
     }
}
void work()
{
     for(int i=1;i<=n;i++)if(!dfn[i])tarjan(i);
     printf("\n");
     for(int i = 1;i <= 6;i++)printf("%d %d\n",dfn[i],low[i]);
     printf("共有%d强连通分量,它们是:\n",Bcnt); 
     for(int i=1;i<=Bcnt;i++)
     {
        printf("第%d个:",i);
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
           if(Belong[j]==i)printf("%d ",j);
        }
        printf("\n");
     }
}
int main()
{
    readdata();
    work();
    return 0;
}
/*
6 8 
1 2
1 3
2 4
3 4
3 5
4 1
4 6 
5 6
*/

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