手把手教你如何由浅入深地理解线性SVM模型
01
SMV的思想
SVM模型的核心是构造一个“超平面”，并利用“超平面”将不同类别的数据做划分。问题是“超平面”该如何构造，并且如何从无数多个分割面中挑选出最佳的“超平面”，只有当这些问题解决了，SVM模型才能够起到理想的分类效果。
为了直观展现，接下来将以二维数据为例，讨论一个线性可分的例子，进而使读者理解SVM模型背后的理论思想。
如下图所示，两个类别的样本点之间存在很明显的区分度，完全可以通过直线将其分割开来。例如，图中绘制了两条分割直线，利用这两条直线，可以方便地将样本点所属的类别判断出来。虽然从直观上来看这两条分割线都没有问题，但是哪一条直线的分类效果更佳呢（训练样本点的分类效果一致，并不代表测试样本点的分类效果也一样）？甚至于在直线
和
之间还存在无数多个分割直线，那么在这么多的分割线中是否存在一条最优的“超平面”呢？
进一步，可以对照下图理解如何选择最优“超平面”。假设直线
是
和
之间的某条直线，它同样可以将两类样本点准确无误地划分出来。为了能够寻找到最优的分割面
，需要做三件事，首先计算两个类别中的样本点到直线
的距离；然后从两组距离中各挑选出一个最短的（如图中所示的距离
和
，继续比较
和
，再选出最短的距离（如图中的
），并以该距离构造“分割带”（如图中经平移后的两条虚线）；最后利用无穷多个分割直线
，构造无穷多个“分割带”，并从这些“分割带”中挑选出带宽最大的
。
这里需要解释的是，为什么要构造每一个分割线所对应的“分割带”。可以想象的是，“分割带”代表了模型划分样本点的能力或可信度，“分割带”越宽，说明模型能够将样本点划分得越清晰，进而保证模型泛化能力越强，分类的可信度越高；反之，“分割带”越窄，说明模型的准确率越容易受到异常点的影响，进而理解为模型的预测能力越弱，分类的可信度越低。对于“分割带”的理解，可以对比下图所示的两幅图形。
上图中，左图的带宽明显要比右图宽很多，对于图中的异常五角星而言，左图既可以准确地识别出它所属的类别，但是右图就会识别错误。所以验证了关于“分割带”的说明，即分割线对应的“分割带”越宽越好，SVM模型就是在努力寻找这个最宽的“带”。
02
SVM的目标函数
根据如上的解释过程，可以将SVM模型的思想表达为一个数学公式，即SVM模型的目标函数为：
其中，
表示样本点i到某条固定分割面的距离；
表示所有样本点与某个分割面之间距离的最小值；
表示从所有的分割面中寻找“分割带”最宽的“超平面”；其中w和b代表线性分割面的参数。假设线性分割面表示为
，则点到分割面的距离
可以表示为：
其中，‖w‖表示 w向量的二范式，即
。很显然，上面的目标函数
其实是无法求解的，因为对于上述的线性可分问题而言，可以得到无穷多个w和b，进而无法通过穷举的方式得到最优的w和b值。为了能够解决这个问题，需要换个角度求解目标函数
，接下来的内容中将会介绍有关线性可分的SVM的目标函数。
03
线性可分SVM模型
以二分类问题为例，假设某条分割面可以将正负样本点区分开来，并且该分割面用
表示。如果样本点落在分割面的左半边，则表示负例，反之表示正例，呈现的图形如下图所示
不妨将五角星所代表的正例样本用1表示，将实心圆所代表的负例样本用-1表示；图中的实体加粗直线表示某条分割面；两条虚线分别表示因变量y取值为+1和-1时的情况，它们与分割面平行。从图中可知，不管是五角星代表的样本点，还是实心圆代表的样本点，这些点均落在两条虚线以及虚线之外，则说明这些点带入到方程
所得的绝对值一定大于等于1。进而可以说明如果点对应的取值越小于-1，该样本为负例的可能性越高；点对应的取值越大于+1，样本为正例的可能性越高。所以，根据如上的图形就可以引申出函数间隔的概念，即数学表达式为：
其中，
表示样本点所属的类别，用+1和-1表示。当
计算的值小于等于-1时，根据分割面可以将样本点
对应的
预测为-1；当
计算的值大于等于+1时，分割面会将样本点
对应的
预测为+1。故利用如上的乘积公式可以得到线性可分的SVM所对应的函数间隔满足
的条件。
直接将函数间隔利用到目标函数
中会存在一个弊端，即当分割面中的参数w和b同比例增加时，所对应的
值也会同比例增加，但这样的增加对分割面
来说却丝毫没有影响。例如，将w和b同比例增加1.5倍，得到的
值也会被扩大1.5倍，而分割面
是没有变化的。所以，为了避免这样的问题，需要对函数间隔做约束，例如单位化处理，进而函数间隔可以重新表示为：
巧妙的是，将函数间隔做单位化处理后，得到的
值其实就是点到分割面的距离，所以
被称为几何间隔。有了几何间隔这个概念，再来看目标函数
：
正如前文所提，线性可分的SVM所对应的函数间隔满足
的条件，故就等于1。所以，可以将目标函数
等价为如下的表达式：
由于最大化
与最小化
是等价的，故可以将上面的表达式重新表示为：
现在的问题是如何根据不等式的约束，求解目标函数
的最小值，关于这类凸二次规划问题的求解需要使用到拉格朗日乘子法（高等数学或《从零开始学Python数据分析与挖掘》书中有详细说明，这里便不再赘述）。
基于拉格朗日乘子法的数学知识，就可以将线性可分SVM模型的目标函数重新表示为：
所以，第一步要做的就是求解拉格朗日函数的极小值，即
。关于这部分的求解就需要对函数
中的参数和分别求偏导，并令导函数为0：
将如上两个导函数为0的等式重新带入目标函数
中，具体的推导过程如下：
所以，最终可以将最原始的目标函数重新改写为下方的等价目标问题：
其中，
表示两个样本点的内积。如上就是关于线性可分SVM目标函数的构建、演变与推导的全过程了，最终根据已知样本点
计算
的极小值，并利用拉格朗日乘子
的值计算分割面
的参数w和b：
其中，在计算
时，需要固定某个
，即从多个拉格朗日乘子
中任意挑选一个大于0的
样本与后面的和式相减。
04
一个手工计算的案例
为了方便读者理解线性可分SVM模型是如何运作和计算的，接下来举一个简单的例子（案例来源于李航老师的《统计学习方法》一书），并通过手动方式对其计算。
如下图所示，假设样本空间中的三个点可以通过线性可分的SVM进行分类，不妨用实心圆点代表负例、五角星代表正例。如何利用前面介绍的理论知识找到最佳的“超平面”呢？计算过程如下：
第一步：将样本点带入目标函数
第二步：将
带入上式
第三步：对
求偏导，并令导函数为0
经计算可知，
，很显然
并不满足
的条件，目标函数的最小值就需要在边界处获得，即令其中的
，重新计算使
达到最小的
。当
时，
，对
求偏导，得到
；当
时，
，对
求偏导，得到
。经过对比发现，
时，目标函数最小，故最终确定
。
最后利用求解参数w和b的计算公式，进一步可以得到分割“超平面”的表达式：
根据如上计算过程，得到参数w和b的估计值，并利用前文介绍的分割“超平面”表达式
进一步得到“超平面”方程：
值得注意的是，对比图中的A、B、C三点和拉格朗日乘子
，当
时，对应的样本点会落在两条虚线之上，否则样本点在“分割带”之外。对于虚线之上的样本点，称之为支持向量，即它们是构成SVM模型的核心点，而其他点对“超平面”w和b的计算没有任何贡献。
有关线性SVM的原理就介绍到这里，除此，近似线性SVM和非线性SVM模型相关知识可以在我的新书《从零开始学Python数据分析与挖掘》中得到详细的答案。
05
结语
OK，如果你有任何问题，欢迎在公众号的留言区域表达你的疑问，下一期我们将分享SVM模型的实战案例。同时，也欢迎各位朋友继续转发与分享文中的内容，让更多的人学习和进步。