通俗易懂理解朴素贝叶斯分类的拉普拉斯平滑

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作者 刘建平Pinard

zenRRan略有改动

这个男生的四个特征是长相不帅，性格不好，身高矮，不上进，我们最终得出的结论是女生不嫁！很多人说这是一道送分题，哈哈哈哈。我们用数学算法也说明了不靠谱是取不到老婆滴！

那么我们再来一个例子，假如此时另外一对情侣，这对情侣中，男生的四个特征是，长相帅，性格爆好，身高高，上进，那么他的女朋友嫁还是不嫁呢？可能又会有小伙伴说这是一道送分题，是不是，我们下面用事实说话！

下面通过例子来引出拉普拉斯平滑过程！

从例子开始

还是下面的训练数据：

四个特征集合分别长相{帅，不帅}、性格{爆好，好，不好}、身高{高，中，矮}、上进与否{上进，不上进}

我们此时要求出该男生在四个特征分别是长相帅，性格爆好，身高高，上进的情况下，他对应的嫁与不嫁的概率谁大谁小，从而得出结论！

也就是要比较p(嫁|长相帅，性格爆好，身高高，上进)与p(不嫁|长相帅，性格爆好，身高高，上进)的概率大小。

按照朴素贝叶斯算法公式，我们可以得到如下公式：

由于两者的分母都是p(长相帅)、p(性格爆好)、p(身高高)、p（上进）,那么我们可以不算分母，比较的时候只比较俩个公式分子大小即可。

好的，下面我们开始计算，先计算在四个特征的条件下，嫁的概率。

我们需要分别计算p（性格爆好|嫁）、p(长相帅|嫁)、p(身高高|嫁)、p(上进|嫁)

首先我们来算p(性格爆好|嫁)=？我们观察训练数据，发现如下：

居然没有一个数据有爆好这个特点的，那么p（性格爆好|嫁） = 0，那么我们可以看出问题了，根据公式：

我们最后的p(嫁|长相帅、性格爆好、身高高、上进)由于一项p（性格爆好|嫁）为0，而造成整个概率为0，这显然是错误的。

而这个错误的造成是由于训练量不足，会令分类器质量大大降低。为了解决这个问题，我们引入Laplace校准（这就引出了我们的拉普拉斯平滑），它的思想非常简单，就是对每个类别下所有划分的计数加1，这样如果训练样本集数量充分大时，并不会对结果产生影响，并且解决了上述频率为0的尴尬局面。

引入拉普拉斯平滑的公式如下：

其中ajl，代表第j个特征的第l个选择，Sj代表第j个特征的个数，K代表种类的个数。

λ为1，这也很好理解，加入拉普拉斯平滑之后，避免了出现概率为0的情况，又保证了每个值都在0到1的范围内，又保证了最终和为1的概率性质！

我们可以通过下面例子更加深刻的理解这个公式：（现在我们是加入拉普拉斯平滑）

加入拉普拉斯平滑

我们先需要分别计算p（性格爆好|嫁）、p(长相帅|嫁)、p(身高高|嫁)、p(上进|嫁)，p(嫁)

p(性格爆好|嫁)=？统计满足要求的如下面红色部分

没有一个满足是性格爆好的条件，但是此时概率不为0，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,性格特征的个数为爆好，好，不好，三种情况，那么Sj为3，则最终概率为1/9 （嫁的个数为6+特征个数为3）

p(长相帅|嫁)=？统计满足条件的如下面红色部分：

由上图可知满足要求的为3个，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,长相特征的个数为帅，不帅，两种情况，那么Sj为2，则最终概率p(长相帅|嫁)为4/8 （嫁的个数为6+特征个数为2）

p（身高高|嫁） = ？统计满足条件的如下面红色部分：

由上图可知满足要求的为3个，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,身高特征的个数为高，中，矮情况，那么Sj为3，则最终概率p(身高高|嫁)为4/9 （嫁的个数为6+特征个数为3）

p（上进|嫁)=？统计满足要求的如下面红色部分：

由上图可知满足要求的为5个，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,上进特征的个数为上进，不上进情况，那么Sj为2，则最终概率p(上进|嫁)为6/8 （嫁的个数为6+特征个数为2）

p(嫁) = ？满足要求的如下红色标注：

由上图可知满足要求的为6个，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,种类的个数为嫁，不嫁情况，那么K为2，则最终概率p(嫁)为7/14 = 1/2 （嫁的个数为6+种类个数为2）

到这里为止，我们已经算出了在该男生条件下，嫁的概率为：

p(嫁|长相帅、性格爆好、身高高、上进) = 1/9*4/8*4/9*6/8*1/2

下面我们需要算出p(不嫁|长相帅、性格爆好、身高高、上进)的概率，然后与上面的数值进行比较即可，算法与上面完全一模一样！这里也走一遍。

我们需要估计出p(长相帅|不嫁)、p(性格爆好|不嫁)、p(身高高|不嫁)、p（上进|不嫁），p（不嫁）的概率分别为多少。

p（长相帅|不嫁）=？满足要求如下面红色标注：

由上图可知满足要求的为5个，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,长相帅特征的个数为不帅，帅情况，那么Sj为2，则最终概率p(长相不帅|不嫁)为6/8 （不嫁的个数为6+特征个数为2）

p（性格爆好|不嫁）=？满足要求如下面红色标注：

没有一个满足是性格爆好的条件，但是此时概率不为0，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,性格特征的个数为爆好，好，不好，三种情况，那么Sj为3，则最终概率p（性格爆好|不嫁）为1/9 （不嫁的个数为6+特征个数为3）

p（身高高|不嫁）=？满足要求如下面红色标注：

没有一个满足是身高高的条件，但是此时概率不为0，按照加入拉普拉斯平滑后的公式，身高特征的个数为高，中，矮，三种情况，那么Sj为3，则最终概率p(身高高|不嫁)为1/9 （不嫁的个数为6+特征个数为3）

p（上进|不嫁）=？满足要求如下面红色标注：

由上图可知满足要求的为3个，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,上进特征的个数为上进，不上进情况，那么Sj为2，则最终概率p(上进|不嫁)为4/8 （不嫁的个数为6+特征个数为2）

p（不嫁）=？满足要求的如红色标注：

由上图可知满足要求的为6个，按照加入拉普拉斯平滑后的公式，种类的个数为嫁，不嫁情况，那么K为2，则最终概率p(不嫁)为7/14 = 1/2 （不嫁的个数为6+种类个数为2）

到这里为止，我们已经算出了在该男生条件下，不嫁的概率为：

p(不嫁|长相帅、性格爆好、身高高、上进) = 5/8*1/9*1/9*3/8*1/2

结论

于是我们可以得到

p(嫁|长相帅、性格爆好、身高高、上进) = 1/9*4/8*4/9*6/8*1/2 > p(不嫁|长相帅、性格爆好、身高高、上进) = 6/8*1/9*1/9*4/8*1/2

于是我们可以大胆的告诉女生，这样的好男人，贝叶斯告诉你了，该嫁！！！

这就是我们使用拉普拉斯平滑后计算的整个算法过程！

希望对大家的理解有帮助~欢迎大家指错交流！

参考：

李航博士《统计学习方法》

算法杂货铺--分类算法之朴素贝叶斯分类(Naive Bayesian classification)

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