PCA主成分分析学习笔记 + Matlab实现

大鹅

发布于 2021-06-11 14:47:50

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发布于 2021-06-11 14:47:50

综述

PCA (Principal Component Analysis) 主成分分析是目前最常用的数据降维方法之一，主要思路是将n维的数据投影到k(n>k)维空间超平面（直线的高维推广）上面去，使得各个样本点到超平面的投影距离最小（欧式距离）且方差最大。

简单的理解就是你给一个人拍照，要选择什么方向拍才能体现这个人的最多特征，大概就是给这个人拍一个正面的全身照，才能保留这个人的最多图像信息。如果拍侧面照或者从头顶照得到的信息就会非常有限。

再举一个二维数据降维到一维的例子：图中各个颜色的X代表样本坐标点，可以看出相关性比较大（X1轴X2轴单位是inch与cm），所以我们可以找一条直线，将各个样本点投影到直线上，作为我们的一维数据。这里跟线性回归的差别是PCA要最小化点到直线的投影（L2 norm），而线性回归要最小化曼哈顿距离（L1 norm）

具体降维过程

将数据均值归一化。计算出所有特征的均值 μ并计算出 X_i=X_i-\mu。如果特征是在不同的数量级上，我们还需要将其除以标准差 σ^2

计算协方差矩阵（covariance matrix）Σ sigma 根据协方差公式：

或者在Matlab中使用

保留特征值最大的k（n维数据降到k维）个值，并使用删减过的特征矩阵 * 均一化矩阵 = FearureVector * DataAdjust 得到一个 n×k 维度的矩阵

代码实现

function [U, S] = pca(X)
%PCA Run principal component analysis on the dataset X
%   [U, S, X] = pca(X) computes eigenvectors of the covariance matrix of X
%   Returns the eigenvectors U, the eigenvalues (on diagonal) in S
%
[m, n] = size(X);
U = zeros(n);
S = zeros(n);
sigma = X' * X / m;
[U, S, X] = svd(sigma);
end

function Z = projectData(X, U, K)
%on to the top k eigenvectors
%   Z = projectData(X, U, K) computes the projection of 
%   the normalized inputs X into the reduced dimensional space spanned by
%   the first K columns of U. It returns the projected examples in Z.
%
Z = zeros(size(X, 1), K);
for i = 1:size(X,1)
  for k = 1:K
    x= X(i, :)';
    Z(i,k) = x' * U(:, k);
  end
end
end
%  Run PCA
[U, S] = pca(X_norm);
K = 100;
Z = projectData(X_norm, U, K);