先验概率、后验概率、似然函数概念与联系
本文解释了标题三个概念之间的关系，给出了后验概率的求法。
贝叶斯公式
我们熟知的贝叶斯公式是这样的:
但在这里我们采用如下形式:
贝叶斯公式是这几个概念的理论基础
- x是样本
- \theta 是决定样本如何分布的参数
可以把这里的 \theta 理解为原因， x 理解为结果，因为\theta决定了x是什么样的。
- 解释如下：
标识 | 含义 |
|---|---|
$p(x)$ | ${\text {证据 evidence }}$ |
$p(\theta \mid x)$ | ${\text {后验概率 posterior }}$ |
$p(\theta)$ | ${\text {先验分布 prior }}$ |
$p(x \mid \theta)$ | ${\text {似然分布 }}$ likelihood |
- 也就是说，有这样的公式表示三者之间的关系：
随后介绍概念，再使用一个例子加深理解
概念介绍
先验概率 $p(x)$
- 由历史求因
事情还没有发生，根据以往的经验来判断事情发生的概率，反映人们在抽样前对 θ 的认识。
扔一个硬币，在扔之前我们无法根据实验结果给出结果的概率分布； 但根据日常经验和对硬币的观察，我们可以假定正面向上的概率为0.5； 这里根据我们之前的经验得到的0.5就是先验概率。
后验概率 $p(\theta \mid x)$
- 知果求因
事情已经发生了，导致事情发生的原因很多，根据结果来判断各个由不同原因导致的概率。
后验分布 p(θ|X) 是反映人们在抽样后对 θ 的认识，之间的差异是由于样本的出现后人们对 θ 认识的一种调整，所以后验分布 p(θ|X) 可以看作是人们用总体信息和样本信息（抽样信息）对先验分布 p(θ) 作调整的结果。
似然分布 $p(x \mid \theta)$
- 由因求果
已经获得了样本，导致产生这些样本的原因很多，不同原因可以导致某个固定结果的概率。
用似然分布的方法根据样本确定参数的估计路数叫做似然估计，这种估计方式没有考虑先验知识，仅使用了获得的样本信息。
案例应用
已知： 有两个外观看上去一模一样的密封箱子 A, B A 箱中有 3 个白球和 1 个黑球 B 箱中有 2 个白球和 2 个黑球
- 随便摸一个球是 白(w) / 黑(b) 的概率为：
这可以看作是随机摸一个球的先验分布，白色黑色的概率为先验概率 在计算过程中其实运用了全概率公式，枚举了选择两个箱子的情况 这里面认定了选择箱子A和箱子B的概率是1/2，这也是一种先验概率/先验分布
- 随便摸一个球是白球，那么摸的这个箱子是A的概率是多大？
贝叶斯公式：
这个过程就是采样过后，对先验概率进行调整，得到后验概率。