六问Nerf | 简单易懂的神经辐射场入门介绍

作者 | lcltopismine3

编辑 | 一点人工一点智能

原文链接：六问Nerf | 简单易懂的神经辐射场入门介绍

最近零散时间，翻了一批讲Nerf原理的CSDN/知乎/B站文章和视频，有些讲的还是不错的，但是有些实在是让人感觉，作者本身就没搞懂啥是神经辐射场。所以本文使用自问自答的方式，尝试直击要害的讲清楚Nerf是干什么的。

注A：以下内容里，Nerf和神经辐射场互用。

注B：觉得不全面请直接移步评论区喷作者。

第一问：不多于三句话说清楚什么是神经辐射场（不要带任何公式或者物理建模，反正也看不懂）

【太长不看版本】答：神经辐射场是一种面向三维隐式空间建模的深度学习模型，这种深度学习模型又称全连接神经网络（又称多层感知机）。

【恰好三句话版本】答：神经辐射场是一种面向三维隐式空间建模的深度学习模型，这种深度学习模型又称全连接神经网络（又称多层感知机）。NeRF 所要做的任务是 Novel View Synthesis，一般翻译为新视角合成任务，定义是：在已知视角下对场景进行一系列的捕获 (包括拍摄到的图像，以及每张图像对应的内外参)，不需要中间三维重建的过程，仅根据位姿内参和图像，合成新视角下的图像。在基于Nerf的表示方法下，三维空间被表示为一组可学习且连续的辐射场，由输入视角+位置学习后，得到密度+色彩。

第二问：神经辐射场是如何工作的（物理相关知识含量<10%）？

这里先介绍一下神经辐射场在三维空间渲染对应的物理方程。具体参考下面公式。其中x为当前待分析的三维空间坐标，d为光线照射方向，

经辐射场在三维空间渲染对应的物理方程

这个公式分成两部分。第一部分代表x为光源点时，自身在d方向上的辐射量。第二部分为，该点光源照射到其他表面后，折射在d方向的辐射。第二部分中f_r(x,d,\omega_i)  为散射函数，L_i(x,\omega_i)  为从\omega_i 方向接收到的辐射，\theta 为\omega_i 与d的夹角。

为什么要提这个？因为人眼中的色彩，很大一部分是通过神经辐射场中的辐射来的。人眼会接收到光，而光就是电磁辐射，或者说是振荡的电磁场，光又有波长和频率，其中光的颜色是由频率决定的。如果大家记得初中物理的话，大多数光是不可见的，仅有的很窄的一段人眼可见的光谱称为可见光谱，对应的频率就是我们认为的颜色。

可见光谱，图源来自度娘

因此，我们可以间接认为，建模辐射光即是建模对应的颜色。而Nerf则是一组可以对上面渲染方程近似求解的MLP。这也就是Nerf的工作原理。在基于Nerf的表示方法下，三维场被表示为一组可学习且连续的辐射场。

第三问：Nerf的输入输出分别是什么?

给定一组连续拍摄的图像+姿态，Nerf尝试使用光线位置、光照方向、对应三维坐标（x,y,z）为输入，输出目标的密度（形体）+颜色。输入共计五变量，也因此被称为“5D辐射场”。具体来说，给定空间点坐标(x，y，z)与观测方向（d_x,d_y,d_z中任意两个，第三个通过叉乘求出，俗称“知二得三”）可求解得该点的密度值（其实是光线在该点终止的概率）与对应的颜色（RGB值）。预测了颜色值，和当前姿态下对应的输入图片求损失，则可进行优化使模型逐步收敛。

第四问：Nerf模型如何渲染？

Nerf引入了经典的体渲染理论来进行色彩与密度（也就是Nerf输出值）的建模。

相关物理公式如下（实际使用该公式的离散化形式，有兴趣的同学可以看我附录的数学推导）：

体渲染方程

这个公式看上去极度复杂；里面涉及三组物理量：光线累积量T(x)  、体素密度\sigma(x)  与颜色 C(x)

• 体素密度\sigma(x) 反映了该模型在该光线的某处的粒子的密度，也就是一个具体的三维坐标上粒子的密度
• 颜色 C(x) 反应了该具体的三维坐标上，从光线的方向看去，粒子反射的颜色
• 光线累积量 T(x) 是一个随着光线的路径长度增加，而不断对体素密度积分的量，它的大小是随着光线达到的地方深度的增加而逐渐减小的，也就是说透明度在不断的下降，光线没有碰撞到任何粒子的概率在减小

据此可以设想体渲染方程的物理意义：解决了遮挡问题与无界问题。

举个例子：在追踪某一条光线并在积分的过程中，假设环境是真空的，如果实际的场景中第一个物体遮挡住了第二个物体，那么光线在经过第一个物体的时候，粒子碰撞到物体表面的概率是非常大的。因为对于一个具体的物体而言，它所在的位置的粒子密度肯定是在一定量级上且比较大的。所以当光线通过第一个物体之后，到达第二个物体的时候，T因为穿透前一物体而释放能量，剩余累积量已经很小了，因此按照比例，第一个物体对于颜色的贡献，会大于第二个物体。换句话说，在追踪这根光线上，主要（应该说是几乎全部）呈现的是第一个物体粒子所反射的颜色，而第二个物体粒子的颜色的影响微乎其微。这和实际物理建模的结果是相互呼应的。

了解了如何进行渲染后，我们进一步介绍nerf进行体渲染的方法：分层体素渲染（Hierarchical volume sampling）。

这里还是要先解释一下背景：直接使用上面公式中的体渲染积分，需要控制采样起始点。如果直接对全局采样，所需要的计算消耗过大，且采样区间的点较为稀疏。假设使用均匀分布采样，则直接采样效率低。选择恰当的起始、终止点在这里是非常重要的。选择起始点区间长度太小，则采样点不足，影响训练结果。基于体渲染方程分析，一个合理的采样选择是，最好尽可能的避免在空缺部分以及被遮挡了的部分进行过多的采样，因为这些部分对最好的颜色贡献是很少的。

那么如何采样效率最高呢？Nerf使用两个网络同时进行训练 (后称 coarse 和 fine 网络)， coarse 网络输入的点是通过对光线均匀采样得到的，根据 coarse 网络预测的体密度值，对光线的分布进行估计，然后根据估计出的分布进行第二次重要性采样，然后再把所有的采样点一起输入到 fine 网络进行预测。具体过程请见下图。

左图：粗采样 右图：细采样

分层体素渲染的具体流程如下：

先使用粗采样（在起点、终点之间均匀采样）得到N_c 个点，采样通过 coarse 的渲染方程的计算。

离散化采样方程

之后需要对\omega_i 进行归一化,得到分段常数概率密度函数，然后通过逆变换采样（inverse transform sampling）获得N_f 个点，添加至已有点中，用于fine网络采样。

简单说一下这里为什么用逆变换采样。逆变换采样的作用是，在分布 p 的 CDF 值域上均匀采样，其采样结果与原分布 p 中的采样同分布。因此如果获取当前分布困难，可以通过逆变换采样，简化问题难度。

分层体素渲染公式的数学推导这里不展开，有兴趣的同学请下拉至附录查看。

第五问：Nerf模型训练是否使用了某些涨点tricks

确实有。实际有两个tricks：

1. 位置编码（positional encoding），注意这里的PE和transformer里面的PE不一样。
2. 层体素渲染，上面已经提过了。

下面重点说一下位置编码。

为什么要引入位置编码：传统的MLP网络不善于学习高频数据信息，但是基于颜色的纹理信息都是高频的，如果直接使用MLP学习，会导致学得纹理的表面相当模糊。因此引入了位置编码，让MLP同时学习高低频信息，提升清晰度。

Nerf位置编码公式

不多讲公式，直接上图拿来对比，使用了位置编码带来的算法增益。

使用了位置编码，可以让局部纹理更加清晰

第六问：体渲染公式的数学推导（可选）

对数学不关心或者看不懂的同学建议跳过这部分。

该部分内容引用Kevin对于Nerf的介绍，数学推导摘录自NeRF原作者Ben Mildenhall在SIGGRAPH 2021的 Courses: Advances in Neural Rendering (Part 1)中的原始数学推导。

设随机变量S，表示当前光线所走到的位置。

我们从T(s)开始介绍。T(s)即为上文提及的光线通过率。物理意义为行进至S处，粒子未撞击到物体的概率。

这里我们定义T(s)为T(s)=e^{\int_{0}^{s}-\sigma(t)dt} 其物理意义为，当光线到达s处时，光强还剩下百分之多少。按照该模型的解释，也就是有百分之多少的光线没有碰撞到粒子。再从统计学上，换到概率学上的意义，也就是一根光线到达s处时，没有碰撞到任何粒子的概率。

则物体在位置S撞击到某点的概率F(S)的数学表示为：

求 F(S) 返回颜色的期望即为 E(C) ，则有

体渲染方程：连续形式

计算资源有限，无法穷尽正半球，因此可进一步优化。假定采样起始S_n  、终止点S_f 已知，则可进一步推导得

下面推导体渲染方程的离散化形式

假设光线在走到x的时候，没有碰撞到任何粒子的概率是T(x)，也就是光线透过率，那么光线在此三维坐标下继续传播一段距离，给定碰撞到当前粒子的概率为σ，则没撞击的概率为 1-σ, 据此有

上式转换成微分方程

求解可得

给定起始点x_i 、终止点x_{i+1} ，进一步可得：

代入E(c)函数的离散形式，此时不再求F(S)的倒数，而是求其差分的期望，则有

体渲染公式的离散形式

此即为体渲染公式的离散形式。