ID决策树的构造原理

前言

🏷️🏷️本章开始学习有关决策树的相关知识，决策树是一种树形模型，也是一种常用的分类和回归方法。本章我们首先介绍第一种决策树的构造原理

学习目标

1. 了解决策树算法的基本思想
2. 掌握 ID3 决策树的构建原理

1.决策树介绍

1.1案例引入

有的同学可能在大学学习过一门课程叫《数据结构》，里面有一个重要的结构就是“树”，和现实生活中的树一样，树的主要由四部分树根、树干、树枝、树叶组成，今天的决策树也是一种树结构，大家学习的时候可以想象现实生活中的树来来理解。

决策树算法是一种监督学习算法，英文是Decision tree。

决策树思想的来源非常朴素，试想每个人的大脑都有类似于if-else这样的逻辑判断，这其中的if表示的是条件，if之后的then就是一种选择或决策。程序设计中的条件分支结构就是if-then结构，最早的决策树就是利用这类结构分割数据的一种分类学习方法。

比如：你母亲要给你介绍男朋友，是这么来对话的：

女儿：多大年纪了？

母亲：26。

女儿：长的帅不帅？

母亲：挺帅的。

女儿：收入高不？

母亲：不算很高，中等情况。

女儿：是公务员不？

母亲：是，在税务局上班呢。

女儿：那好，我去见见。

于是你在脑袋里面就有了下面这张图

作为女孩的你在决策过程就是典型的分类树决策。相当于通过年龄、长相、收入和是否公务员对将男人分为两个类别：见和不见。

1.2构建决策树的三个步骤

1. 特征选择：选取有较强分类能力的特征（定性分析问题还是定量分析问题等等）
2. 决策树生成
3. 决策树剪枝（让决策树更加简洁高效，对于一些特征不重要，或根据权值大小，对决策树的分类进行筛选）

决策树API：

• from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
• from sklearn.tree import plot_tree

2.ID3决策树

1. 掌握信息熵的概念
2. 掌握条件熵的概念
3. 掌握ID3决策树构建过程

2.1信息熵

ID3 树是基于信息增益构建的决策树.

定义

• 熵在信息论中代表随机变量不确定度的度量
• 熵越大，数据的不确定性度越高
• 熵越小，数据的不确定性越低

公式：

\large H = -\sum_{i=1}^{k}p_i\log(p_i)

公式的转换，当数据类别只有两类的情况下，公式可以做如下转换：

代码角度理解信息熵的概念

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def entropy(p):
    return -p*np.log(p)-(1-p)*np.log(1-p)

x = np.linspace(0.01,0.99,200)
plt.plot(x,entropy(x))
plt.show()

✒️观察上图可以得出，当我们的系统每一个类别是等概率的时候，系统的信息熵最高，当系统偏向于某一列，相当于系统有了一定程度的确定性，直到系统整体百分之百的都到某一类中，此时信息熵就达到了最低值，即为0。上述结论也可以拓展到多类别的情况。

2.2 信息增益

💡💡上文我们也讲到，决策树构建第一步即特征选择是尤为重要的，每一种特征的重要性怎样体现呢，那就是信息增益。

2.2.1定义

特征

$A$

对训练数据集D的信息增益

$g(D,A)$

，定义为集合

$D$

的经验熵

$H(D)$

与特征A给定条件下D的经验熵

$H(D|A)$

之差。即

\large g(D,A)=H(D)-H(D|A)

根据信息增益选择特征方法是：对训练数据集D，计算其每个特征的信息增益，并比较它们的大小，并选择信息增益最大的特征进行划分。表示由于特征A而使得对数据D的分类不确定性减少的程度。

2.2.2算法

设训练数据集为D，

$\mid D\mid$

表示其样本个数。设有

$K$

个类

$C_k$

，

$k=1,2,\cdots,K$

，

$\mid C_k\mid$

为属于类

$C_k$

的样本个数，

$\sum\limits{k=1}^{K}=\mid{D}\mid$

。设特征A有

$n$

个不同取值

${a_1, a_2, \cdots,a_n}$

，根据特征A的取值将D划分为

$n$

个子集

$D_1, D_2, \cdots,D_n$

，

$\mid D_i\mid$

为

$D_i$

样本个数，

$\sum\limits{i=1}^n\mid D_i\mid=\mid D\mid$

。子集中属于类

$C_k$

的样本集合为

$D{ik}$

，即

$D{ik}=D_i\bigcap C_k$

，

$\mid D{ik}\mid$

为

$D{ik}$

的样本个数。信息增益算法如下：

• 输入：训练数据集D和特征A；
• 输出：特征A对训练数据集D的信息增益

$g(D,A)$

(1) 计算数据集D的经验熵

$H(D)$

$H(D)=-\sum\limits_{k=1}^{K}\frac{\mid C_k\mid}{\mid D\mid}\log_2\frac{\mid C_k\mid}{\mid D\mid}$

(2) 计算特征A对数据集D的经验条件熵

$H(D\mid A)$

$H(D\mid A)=\sum\limits{i=1}^{n}\frac{\mid D_i\mid}{\mid D\mid}H(D_i)=-\sum\limits{i=1}^{n}\frac{\mid D_i\mid}{\mid D\mid}\sum\limits{k=1}^{K}\frac{\mid D{ik}\mid}{\mid D_i\mid}\log_2\frac{\mid D_{ik}\mid}{\mid D_i\mid}$

(3) 计算信息增益

$g(D,A)=H(D)-H(D|A)$

💡💡只看公式可能觉得很复杂，下面我们带入一个例子来更好的理解

下面以常用的贷款申请样本数据表为样本集，通过数学计算来介绍信息增益计算过程。

Step1 计算经验熵

类别一共是两个拒绝/同意，数量分别是6和9，根据熵定义可得：

H(D)=-\frac{9}{15}\log_2\frac{9}{15}-\frac{6}{15}\log_2\frac{6}{15}=0.971

Step2 各特征的条件熵

将各特征分别记为

$A_1,A_2,A_3,A_4$

，分别代表年龄、有无工作、有无房子和信贷情况，那么

Step3 计算增益

根据计算所得的信息增益，选取最大的

$A_3$

作为根节点的特征。它将训练集

$D$

划分为两个子集

$D_1$

（取值为“是”）和

$D_2$

（取值为“否”）。由于

$D_1$

只有同一类的样本点，所以成为一个叶节点，节点标记为“是”。

对于

$D_2$

需从特征

$A_1,A_2,A_4$

中选择新的特征。计算各个特征的信息增益

g(D_2,A_1)=0.918-0.668=0.251\\ g(D_2,A_2)=0.918\\ g(D_2,A_4)=0.474

选择信息增益最大的特征

$A_2$

作为节点的特征。由于

$A_2$

有两个可能取值，一个是“是”的子节点，有三个样本，且为同一类，所以是一个叶节点，类标记为“是”；另一个是“否”的子节点，包含6个样本，也属同一类，所以也是一个叶节点，类别标记为“否”。

最终构建的决策树如下：

3.ID3的算法步骤

1. 计算每个特征的信息增益
2. 使用信息增益最大的特征将数据集 S 拆分为子集
3. 使用该特征（信息增益最大的特征）作为决策树的一个节点
4. 使用剩余特征对子集重复上述（1，2，3）过程

4.小结

1. 信息熵是一个变量（特征）包含信息多少的度量方式。信息熵的值大，则认为该变量包含的信息量就大
2. 条件熵用于衡量以某个特征作为条件，对目标值纯度的提升程度
3. 信息增益用于衡量那个特征更加适合优先分裂
4. 使用信息增益构建的决策树成为 ID3 决策树