电机摩擦系数的线性拟合（库仑和粘滞）

一、摩擦力的直线拟合

当关节以不同恒定速度 q˙运动，并记录对应速度下驱动器输出的平均力矩 τ后，会在速度-力矩平面上得到一组数据点。

以关节正转（q˙>0）的数据为例，拟合一条直线：

τ=fv⋅q˙+fc其中：

关键点：反转时（q˙<0），拟合出的直线截距符号会翻转（−fc），斜率不变（fv），这是因为库仑摩擦始终阻碍运动，方向随速度方向改变；而粘滞摩擦与速度成正比，方向也随速度反向。

画出来的图像：

力矩 τ (Nm)
   ↑
   │        正转方向
   │       /
   │      /  (斜率 = f_v)
   │     /
   │----/----→ 速度 q̇ (rad/s)
   │   /|
   │  / |
   │ /  | ← 截距 = f_c（正转时）
   │/   

注意反转方向在横轴负半轴，截距为 −fc，所以完整图像是两条关于原点对称的直线。

二、库仑摩擦

1. 原理

库仑摩擦是干摩擦的经典模型，它的核心特征是：摩擦力的大小是恒定的，与速度大小无关，方向始终与运动方向相反。

物理来源：两个接触表面之间的微凸体咬合和表面粘附，只要有相对运动趋势，这些微小凹凸就会相互卡住，产生一个基本恒定的阻力。

2. 数学表达

其中 sign(q˙)是符号函数：

• q˙>0：τ=+fc（阻力，阻碍正转）
• q˙<0：τ=−fc（阻力，阻碍反转）
• q˙=0：这是静摩擦区，比库仑摩擦略大（但工程上常简化为相等）

3. 在机械臂中的来源：减速器内部齿轮啮合、轴承滚珠与滚道、同步带与带轮、密封圈等

4. 影响

• 低速爬行（粘滑运动）：当速度很慢时，库仑摩擦的恒定阻力+突然释放特性会导致运动不平稳，表现为一顿一顿地走。
• 换向死区：当速度从正变负通过零点时，摩擦力方向突变，产生一个力矩跳变，导致位置跟踪在换向处出现小的停滞。
• 位置静差：在 PD 控制（MIT模式）中，库仑摩擦需要额外的力矩才能克服，而 PD 控制器只有在有位置误差时才出力。所以在目标位置附近，误差太小不足以产生超过库仑摩擦的力矩，关节就永远停在一个微小偏差点上。

三、粘滞摩擦是什么

1. 原理

粘滞摩擦源于润滑剂的粘性阻力，当两个表面之间存在润滑油或润滑脂，并以一定速度相对运动时，油膜被剪切，产生阻力，这个阻力与相对速度成正比。

2. 数学表达

• fv 越大，速度越高时阻力越大。
• 在低速时，粘滞摩擦几乎为零；在高速时，它成为主导阻力。

3. 影响

• 提供天然阻尼：粘滞摩擦对系统有稳定作用，像 Kd 一样吸收能量，减少振荡，这就是为什么无润滑的机构更容易抖动。
• 高速发热：粘滞阻力与速度成正比，高速时产生热量，降低效率。
• 速度跟踪误差：在速度模式（PV）下，如果不补偿粘滞摩擦，实际速度会低于目标速度（因为阻力吃掉了部分力矩）。

四、区别对比

五、直线拟合（一种工程近似）

实际摩擦特性远比 fc+fvq˙复杂：

• 静摩擦大于动摩擦：启动瞬间需要更大的力矩，运动起来后摩擦减小。
• Stribeck效应：在极低速度（0~1°/s）时，摩擦力随速度增加而下降，然后在某速度后随速度上升。
• 温度依赖：润滑剂粘度随温度变化，摩擦系数随之漂移。

完整的摩擦模型：

其中 fs是静摩擦，vs 是Stribeck速度，δ 是经验参数。

你的清洁任务中用直线拟合就够了：

• 清洁运动速度低但不经过零速（除启停外），静摩擦影响短暂。
• 导纳控制器和外环力反馈能容忍残余的摩擦误差。
• 直线模型只需要两个参数，整定快。

六、补偿到 τ_ff 

 MIT 模式的 τff 中加入摩擦补偿的意义：

• 消除换向停滞：当关节速度从正变负时，sign(q˙)翻转，补偿力提前反向，关节不再在零点附近卡住。
• 低速运动平滑：库仑摩擦被前馈抵消，低速时不再有爬行。
• 减小 PD 静差：PD 控制器不需要为克服摩擦而保持恒定误差，位置精度提高。
• 降低电机负担：摩擦阻力由前馈直接抵消，PD 只需处理动态误差。

注意点：

• sign(0) 处理：在速度为零时，符号函数会产生跳变。工程上用平滑函数替代：

其中 ϵ 是一个小速度阈值（如 0.001 rad/s），避免零速时力矩跳变。

• 低速过零时，tanh⁡ 近似会让摩擦补偿在零速附近平滑过渡，避免抖动。