具有R的非平方线性系统的求解
如何求解具有R：A X = B的非平方线性系统？
(在这种情况下，系统没有解或无穷多个解)
例子：
A=matrix(c(0,1,-2,3,5,-3,1,-2,5,-2,-1,1),3,4,T)
B=matrix(c(-17,28,11),3,1,T)
A
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0 1 -2 3
[2,] 5 -3 1 -2
[3,] 5 -2 -1 1
B
[,1]
[1,] -17
[2,] 28
[3,] 11
回答 2
Stack Overflow用户
发布于 2013-11-04 04:13:14
如果矩阵A的行数多于列数，则应使用最小二乘拟合。
如果矩阵A的行数少于列，则应执行奇异值分解。每一种算法都会尽最大努力，通过假设给出一个解决方案。
下面的链接展示了如何使用SVD作为求解器：
让我们将其应用于您的问题，看看它是否有效：
输入矩阵A和已知的RHS向量B：
> A=matrix(c(0,1,-2,3,5,-3,1,-2,5,-2,-1,1),3,4,T)
> B=matrix(c(-17,28,11),3,1,T)
> A
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0 1 -2 3
[2,] 5 -3 1 -2
[3,] 5 -2 -1 1
> B
[,1]
[1,] -17
[2,] 28
[3,] 11让我们分解您的A矩阵：
> asvd = svd(A)
> asvd
$d
[1] 8.007081e+00 4.459446e+00 4.022656e-16
$u
[,1] [,2] [,3]
[1,] -0.1295469 -0.8061540 0.5773503
[2,] 0.7629233 0.2908861 0.5773503
[3,] 0.6333764 -0.5152679 -0.5773503
$v
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.87191556 -0.2515803 -0.1764323
[2,] -0.46022634 -0.1453716 -0.4694190
[3,] 0.04853711 0.5423235 0.6394484
[4,] -0.15999723 -0.7883272 0.5827720
> adiag = diag(1/asvd$d)
> adiag
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.1248895 0.0000000 0.00000e+00
[2,] 0.0000000 0.2242431 0.00000e+00
[3,] 0.0000000 0.0000000 2.48592e+15关键是：d中的第三个特征值非常小；相反，adiag中的对角线元素非常大。在求解之前，将其设为零：
> adiag[3,3] = 0
> adiag
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.1248895 0.0000000 0
[2,] 0.0000000 0.2242431 0
[3,] 0.0000000 0.0000000 0现在，让我们计算解决方案(请参阅我上面给您的链接中的幻灯片16 )：
> solution = asvd$v %*% adiag %*% t(asvd$u) %*% B
> solution
[,1]
[1,] 2.411765
[2,] -2.282353
[3,] 2.152941
[4,] -3.470588现在我们有了一个解决方案，让我们用它来代替它，看看它是否给了我们相同的B
> check = A %*% solution
> check
[,1]
[1,] -17
[2,] 28
[3,] 11这就是你从B开始的一面，所以我认为我们很好。
下面是来自AMS的另一个很好的SVD讨论：
Stack Overflow用户
发布于 2017-10-16 01:24:53
目的是解决Ax = b问题
其中，给定A<>E 211和E 112bE 213，对于x，x为q =1，b为p=1。
方法1:广义逆: Moore-Penrose inverse
将方程的两边相乘，我们得到
A‘A=A’b
其中A'是A的转位。注意，A'A现在是q乘Q矩阵。解决这个问题的一种方法是用A'A的逆将方程的两边相乘。这给了，
x = ( A‘A)^{-1} A’b
这就是广义逆背后的理论。这里G = (A'A)^{-1} A'是A的伪逆.
library(MASS)
ginv(A) %*% B
# [,1]
#[1,] 2.411765
#[2,] -2.282353
#[3,] 2.152941
#[4,] -3.470588方法2:使用SVD的广义逆。
@duffymo利用SVD方法得到A的伪逆。
但是，svd(A)$d的最后一个元素可能不像本例中的那么小。因此，可能不应该像那样使用该方法。这里有一个例子，A的最后一个元素没有一个接近于零。
A <- as.matrix(iris[11:13, -5])
A
# Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width
# 11 5.4 3.7 1.5 0.2
# 12 4.8 3.4 1.6 0.2
# 13 4.8 3.0 1.4 0.1
svd(A)$d
# [1] 10.7820526 0.2630862 0.1677126一种选择是将cor(A)中的奇异值看作
svd(cor(A))$d
# [1] 2.904194e+00 1.095806e+00 1.876146e-16 1.155796e-17现在，很明显只有两个大的奇异值存在。因此，现在可以将svd应用到A上，得到如下伪逆。
svda <- svd(A)
G = svda$v[, 1:2] %*% diag(1/svda$d[1:2]) %*% t(svda$u[, 1:2])
# to get x
G %*% Bhttps://stackoverflow.com/questions/19763698
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