动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
一般情况下，算法中基本操作重复的次数就是问题规模n的某个函数f（n），进而分析f（n）随n的变化情况并确定T（n）的数量级。这里用‘o’来表示数量级，给出算法时间复杂度。 T（n）=o（f（n））； 它表示随问题规模n的增大，算法的执行时间增长率和f（n）增长率成正比，这称作算法的渐进时间复杂度。而我们一般情况下讨论的最坏的时间复杂度。 空间复杂度： 算法的空间复杂度并不是实际占用的空间，而是计算整个算法空间辅助空间单元的个数，与问题的规模没有关系。算法的空间复杂度S（n）定义为该算法所耗费空间的数量级。 S（n）=o（f（n）） 若算法执行所需要的辅助空间相对于输入数据n而言是一个常数，则称这个算法空间复杂度辅助空间为o（1）； 递归算法空间复杂度：递归深度n*每次递归所要的辅助空间，如果每次递归所需要的辅助空间为常数，则递归空间复杂度o（n）。
构造备忘录P[i,c]，P[i,c]表示在前i个商品中选择，背包容量为c时的最优解
加法原理：集合元素可以被划分为集合族F = {S1, S2, S3…}则S的元素个数是这些元素个数之和：|S| = |S1| + |S2| + |S3|+…|Sn|
本文介绍了归并排序的基本思想，递归方法的一般写法，最后一步步手写归并排序，并对其性能进行了分析。
使用动态规划求解问题，最重要的就是确定动态规划三要素： （1）问题的阶段 （2）每个阶段的状态 （3）从前一个阶段转化到后一个阶段之间的递推关系。 递推关系必须是从次小的问题开始到较大的问题之间的转化，从这个角度来说，动态规划往往可以用递归程序来实现，不过因为递推可以充分利用前面保存的子问题的解来减少重复计算，所以对于大规模问题来说，有递归不可比拟的优势，这也是动态规划算法的核心之处。 确定了动态规划的这三要素，整个求解过程就可以用一个最优决策表来描述，最优决策表是一个二维表，其中行表示决策的阶段，列表示问题状态，表格需要填写的数据一般对应此问题的在某个阶段某个状态下的最优值（如最短路径，最长公共子序列，最大价值等），填表的过程就是根据递推关系，从1行1列开始，以行或者列优先的顺序，依次填写表格，最后根据整个表格的数据通过简单的取舍或者运算求得问题的最优解。 f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}
此处F（n）是最高为t次的多项式和一个指数函数的乘积。我们要求解这个通式，如线性代数中一样，先解齐次方程，由解的结构，再加上特解即为所求的解。
斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
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动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这样的多阶段最优化决策解决这个问题的过程就称为动态规划。
在隐马尔科夫模型HMM（一）HMM模型中，我们讲到了HMM模型的基础知识和HMM的三个基本问题，本篇我们就关注于HMM第一个基本问题的解决方法，即已知模型和观测序列，求观测序列出现的概率。
简单来记，20世纪50年代美国数学家理查德·贝尔曼发明的，用于数学领域解决某类最优问题的重要工具，以及在计算机领域当作是一种通用的算法设计技术。其余历史可以参考麻省理工教材动态规划第一篇。
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
在文章[LeetCode]动态规划及LeetCode题解分析中，Jungle介绍到求解动态规划类问题，一般分为三个步骤：
dynamic programming被认为是一种与递归相反的技术，递归是从顶部开始分解，通过解决掉所有分解出的问题来解决整个问题，而动态规划是从问题底部开始，解决了小问题后合并为整体的解决方案，从而解决掉整个问题。
数字是我们在编程中最常接触的元数据。无论是在业务还是刷题，多半部分都是数字的运算，其次是字符串，再次是布尔。
剖析递归行为和递归行为时间复杂度的估算 master公式：也叫主定理。它提供了一种通过渐近符号表示递推关系式的方法。 应用Master定理可以很简便的求解递归方程。
动态规划（DP，Dynamic programming）是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。给定一个问题，如果可以将其划分为子问题，并解出其子问题，再根据子问题的解推导/递推以得出原问题的解。
目录 一、数据结构概要 二、算法概要 三、时间复杂度简介 四、求解时间复杂度 一、数据结构 数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。在各类实际应用问题中，数据元素之间总是存在着各种关系，描述数据元素之间关系的方法称为结构。通常，可根据数据元素之间所存在的关系的不同特征，用4类基本结构予以描述： (1)集合：指结构中的数据元素之间只存在“同属一个集合”的关系。 间 (2)线性结构：指结构中的数据元素之间存在“一个对一个”的关系。 数 (3)树形结构：指结构中的数据元素
这是 LeetCode 上的「1137. 第 N 个泰波那契数」，难度为「简单」。
动态规划适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。给定一个问题，如果可以将其划分为子问题，并解出其子问题，再根据子问题的解推导/递推以得出原问题的解。LeetCode上关于动态规划的题目众多，除了前述文章的最小路径、股票买卖等问题，区间型动态规划也是一类经典题目。本节将分析LeetCode上两道区间型动态规划题目。
在文章[LeetCode]动态规划及LeetCode题解分析中，Jungle介绍到求解动态规划类问题，一般分为三个步骤，这里做个简单回顾：
动态规划是求解“最小路径”的常用方法之一，LeetCode上关于“最小路径”的题目如下：
要说吧，4道题也都做出来了，耗时老实说也没有特别长，不算错误惩罚的话其实也就56分钟，不到1个小时，整体虽然没有挤进国内前100，好歹也有前4%（116/3682），世界排名也是311/9290，也属于前4%，照说应该是一次不错的发挥了。
博弈论是有趣又有用的知识，可以用来预测在特定的规则下，人们会做出怎样的行为，又会导致怎样的结果。利用博弈论来指导人们的行事法则甚至商业操作，比如著名的囚徒困境就被很好的利用在了商业竞争上。同样，LeetCode也利用博弈论出了几道有意思的题目。
在上一篇中，我们对01背包问题进行了比较深入的研究，这一篇里，我们来聊聊另一个背包问题：完全背包。
递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。 递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即递推关系）。递推算法避开了求通项公式的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。一般说来，可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。 例题1——数字三角形
大家好，我是架构君，一个会写代码吟诗的架构师。今天说一说递归函数及例题_递归树求解递归式例题,希望能够帮助大家进步!!!
本文介绍了隐马尔可夫模型，首先介绍了隐马尔科夫模型定义，核心思想是引入了隐状态序列（引入隐状态是所有隐因子模型最巧妙的地方，如：隐因子分解，LDA），然后介绍了隐马尔科夫模型要解决的三个问题，1）在参数已知的情况下计算可观测序列的总概率，2）在给出观测序列数据时学习模型的参数，3）在参数已知的情况下通过维特比解码预测出所有产生可观测序列中概率最大的一条不可观测序列，即序列标注问题。
动态规划 动态规划算法是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决 基本思路 动态规划算法的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。 算法实现 使用动态规划求解问题，最重要的就是确定动态规划三要素： （1）
上回我们针对这道北大强基题[((1 + sqrt(5)) / 2) ^ 12]在答案的基础上给出了出题的可能思路，想一探究竟，相关内容请戳：
个人主页：天寒雨落的博客_CSDN博客-C,CSDN竞赛,python领域博主 💬 刷题网站：一款立志于C语言的题库网站蓝桥杯ACM训练系统 - C语言网 (dotcpp.com) 特别标注：该博主将长期更新c语言内容，初学c语言的友友们，订阅我的《初学者入门C语言》专栏，关注博主不迷路！ 一、枚举法 1.说明 列举问题的所有可能的答案，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃。 逐一列举问题所涉及的所有情形，并根据问题提出的条件检验哪些是问题的解，哪些应予排除。 通过循环
由线性回归(一)^1，我们通过数学中的极值原理推导出了一元线性回归的参数估计和多元线性回归的参数估计的拟合方程计算方法。同时为了检验拟合质量，我们引入了两种主要检验：
多重幂计数就是指数塔的组合最优解问题，设给定的n个变量X1，X2，...，Xn。将这些变量依序作底和各层幂，可得n重幂如下：
咦咦咦，各位小可爱，我是你们的好伙伴——bug菌，今天又来给大家普及Java SE相关知识点了，别躲起来啊，听我讲干货还不快点赞，赞多了我就有动力讲得更嗨啦！所以呀，养成先点赞后阅读的好习惯，别被干货淹没了哦~
在强化学习（一）模型基础中，我们讲到了强化学习模型的8个基本要素。但是仅凭这些要素还是无法使用强化学习来帮助我们解决问题的, 在讲到模型训练前，模型的简化也很重要，这一篇主要就是讲如何利用马尔科夫决策过程(Markov Decision Process，以下简称MDP)来简化强化学习的建模。
上篇文章中，我们给出一道北大强基考试中的试题，计算[((1 + sqrt(5)) / 2) ^ 12]，给出了一条没有任何数学直觉，纯硬算的弯路以及题目的参考答案，相关内容请戳：
前面三篇文章已经为大家介绍了利用动态规划算法解决问题的思路以及相关的代码实现，最为核心的就是第一步利用数学中函数的思想来建立模型，然后求解问题。这三个问题构建的数学函数都有一个共同的特征就是所构建的函数都是一元函数即y = f(x)。
前面我们已经从北大强基题出发，聊了题解和出题思路，并从好题切入，剖析了我对数学之美，数学解题之美，数学分析能力的本质和训练方法的理论。相关内容请戳：
递推算法 给定一个数的序列H0,H1,…,Hn,…若存在整数n0，使当n>n0时,可以用等号(或大于号、小于号)将Hn与其前面的某些项Hi(0<i<n)联系起来，这样的式子就叫做递推关系。 递推算法是一种简单的算法，即通过已知条件，利用特定关系得出中间推论，直至得到结果的算法。 递推算法分为顺推和逆推两种。 相对于递归算法,递推算法免除了数据进出栈的过程，也就是说,不需要函数不断的向边界值靠拢,而直接从边界出发,直到求出函数值. 比如阶乘函数：f(n)=n*f(n-1) 在f(3)的
设表示层楼总共不同的方式。 假设此时位于第层，因为每次只能爬1层或2层，所以到第层只有2种方式。
数字 n 代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且 有效的 括号组合。
括号的合法匹配方式为：一个左括号对应一个右括号，且左括号必须要在右括号前面出现。为了方便说明，这里将左括号记作 +1，右括号记作 -1，则一个合法序列和一个非法序列可以表示为如下形式：
两种时间复杂度为O(nlogn)的排序算法，归并排序和快速排序。这两种排序算法适合大规模数据排序，更常用。
给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。
大意：有n种不同大小的硬币，面值是ai每种有mi个，题目问，这些硬币能够在价格1-m之间，付款多少种金额？
在上一篇文章中，我们讲解了「子数组」类动态规划题目的常见技巧。这篇文章继续讲解动态规划问题中的小技巧。今天要讲的是「如何定义多个子问题」。
卡特兰数又称卡塔兰数，卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。个人觉得和斐波那契数列差不多，卡特兰数的地推公式为：pre(n) = pre(0) * pre(n-1) + pre(1) * pre(n-2) + ... + pre(n-1) * pre(0) (n>=2)，pre[0] = pre[1] = 1;
上一篇我们介绍了De Bruijin序列的基本数学内容以及其如何应用在魔术上的一些基本内容，今天我们就来学习一下这个经典的《De Bruijin序列》魔术。
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