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【NumPy高级运用】NumPyMatrix与Broadcast高级运用以及IO操作

Matrix高级运用 Matrix函数作用是返回给定大小标识矩阵。 单位矩阵是一个方阵。从左上角到右下角对角线元素(称为主对角线)均为1,其他所有元素均为0。 !...此模块中函数返回一个矩阵,而不是数组对象。 矩阵是行和列元素矩形阵列。 矩阵元素可以是数字、符号或数学表达式。...import numpy.matlib import numpy as np print (np.matlib.empty((2,2))) NumPyBroadcast运用 广播是numpy对不同形状数组执行数值计算一种方式...数组上算术运算通常在相应元素上执行。 如果两个数组a和b形状相同,即a.shape==b.shape,则a*b结果是数组a和b相应位乘法。这需要相同维数和每个维数相同长度。...轴=0,表示沿第0轴操作,即在每列上操作;轴=1,这意味着沿第一轴操作,即在每条线上操作。

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以3D视角洞悉矩阵乘法,这就是AI思考样子

也许人们最熟悉是注意力矩阵中出现强大但不完美的对角线。这是一种常见模式,出现在该模型(以及许多 Transformer)许多注意力头中。...该振荡周期各有不同,但一般来说,一开始很短,然后沿序列向下移动而变长(类似地,在给定因果关系情况下,与每一行候选注意力 token 数量相关)。...其行为模式与 5 层第 4 头大有不同 —— 这符合人们预期,毕竟它位于模型一个非常不同部分。这个头位于第一层:0 层第 2 头: 值得注意点: 这个头注意力分布很均匀。...注意一个微妙细节:这里视觉暗示是我们还可以沿 k 并行化后续矩阵乘法 attn @ V 并以 split-k 风格对部分结果求和,从而并行化整个双重矩阵乘法。...半边,将双重矩阵乘法 (attn_out @ FFN_1) @ FFN_2 分开,首先沿 j 进行 attn_out @ FFN_1,然后沿 k 与 FFN_2 执行后续矩阵乘法

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以3D视角洞悉矩阵乘法,这就是AI思考样子

也许人们最熟悉是注意力矩阵中出现强大但不完美的对角线。这是一种常见模式,出现在该模型(以及许多 Transformer)许多注意力头中。...该振荡周期各有不同,但一般来说,一开始很短,然后沿序列向下移动而变长(类似地,在给定因果关系情况下,与每一行候选注意力 token 数量相关)。...其行为模式与 5 层第 4 头大有不同 —— 这符合人们预期,毕竟它位于模型一个非常不同部分。这个头位于第一层:0 层第 2 头: 值得注意点: 这个头注意力分布很均匀。...注意一个微妙细节:这里视觉暗示是我们还可以沿 k 并行化后续矩阵乘法 attn @ V 并以 split-k 风格对部分结果求和,从而并行化整个双重矩阵乘法。...半边,将双重矩阵乘法 (attn_out @ FFN_1) @ FFN_2 分开,首先沿 j 进行 attn_out @ FFN_1,然后沿 k 与 FFN_2 执行后续矩阵乘法

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教程 | 从特征分解到协方差矩阵:详细剖析和实现PCA算法

线性变换 在解释线性变换前,我们需要先了解矩阵运算到底是什么。因为我们可以对矩阵值统一进行如加法或乘法等运算,所以矩阵是十分高效和有用。...因此矩阵运算 Av = b 就代表向量 v 通过一个变换(矩阵 A)得到向量 b。下面的实例展示了矩阵乘法(该类型乘法称之为点积)是怎样进行: ? 所以矩阵 A 将向量 v 变换为向量 b。...根据上述推导,我们发现达到优化目标就等价于将协方差矩阵对角化:即除对角线其它元素化为 0,并且在对角线上将特征值按大小从上到下排列。...总的来说,协方差矩阵定义了数据形状,协方差决定了沿对角线对称分布强度,而方差决定了沿 x 轴或 y 轴对称分布趋势。...但矩阵基是可以改变,通常一组特征向量就可以组成该矩阵一组不同基坐标,原矩阵元素可以在这一组新基中表达。 ? 在上图中,我们展示了相同向量 v 如何在不同坐标系中有不同表达。

4.5K91

学习笔记DL004:标量、向量、矩阵、张量,矩阵、向量相乘,单位矩阵、逆矩阵

每个元素是不同坐标轴上坐标。索引向量元素,定义包含元素索引集合,集合写在脚标处。用符号-表示集合补集索引。 矩阵(matrix)。一个二维数组。每个元素由两个索引确定。粗体大写变量名称。...矩阵转置,以对角线为轴镜像。左上角到右下角对角线为主对角线(main diagonal)。A转置表为A⫟。(A⫟)i,j=Aj,i。向量可作一列矩阵。向量转置,一行矩阵。...两个矩阵A、B矩阵乘积(matrix product)是第三个矩阵C。矩阵A列数必须和矩阵B行数相等。如果矩阵A形状mn,矩阵B形状是np,矩阵C形状是mp。两个或多个矩阵并列放置书写矩阵乘法。...单位矩阵结构简单,所有沿对角线元素都是1,其他位置所有元素都是0。矩阵A矩阵逆记A⁽-1⁾,A⁽-1⁾A=In。求解式Ax=b,A⁽-1⁾Ax=A⁽-1⁾b,Inx=A⁽-1⁾b,x=A⁽-1⁾b。...当逆矩阵A⁽-1⁾存在,能找到闭解形式。相同逆矩阵可用于多次求解不同向量b方程。逆矩阵A⁽-1⁾在数字计算机上只能表现出有限精度,有效用向量bt算法得到更精确x,逆矩阵A⁽-1⁾主要作理论工具。

2.6K00

透析矩阵,由浅入深娓娓道来—高数-线性代数-矩阵

矩阵:元素都是零矩阵。注意:不同矩阵不同。 系数矩阵:线性方程组系数构成矩阵称为系数矩阵。 方阵:当矩阵行数与列数相等时候,称之为方阵 奇异矩阵:对应行列式等于0方阵。...是一个主对角线之外元素皆为 0 矩阵对角线上元素可以为 0 或其它值。记为 A = diag(λ1,λ2,..,λn)  ; 分为正对角阵和反对角阵。...单位矩阵:主对角线元素为1,其它元素为0矩阵。....这样我们就知道两者不同之处了,一个是标量,一个是矩阵,这就是两者不同之处.好了,了解完两者不同之处之后,我们来看代数余子式计算方法是怎么定义,如下所示....对于齐次坐标[a,b,h],保持a,b不变, 点沿直线 ax+by=0 逐渐走向无穷远处过程. 矩阵几何解释 与其说矩阵几何意义这么生涩难懂,不如说矩阵在几何中到底是有什么作用呢?

7.1K151

坐标系变换数学基础

矩阵表达式来计算这些变换时,平移是矩阵相加,旋转和缩放则是矩阵相乘,综合起来可以表示为p' = m1 * p + m2 注:因为习惯原因,实际使用时一般使用变化矩阵左乘向量。...其中,m1旋转缩放矩阵, m2为平移矩阵,p为原向量 ,p'为变换后向量。 引入齐次坐标的目的主要是合并矩阵运算中乘法和加法,表示为p' = p*M形式。...即它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系有效方法。 其次,它可以表示无穷远点。...对于齐次坐标(a,b,h),保持a,b不变,|V|=(x1 * x1,y1 * y1, z1 * z1)^1/2过程就表示了标准坐标系中一个点沿直线 ax-by=0 逐渐走向无穷远处过程。...单位矩阵对角线元素都是1,其余元素都是零n阶方阵,叫做n阶单位矩阵,记作E,即 | 1 0 ... 0 | | 0 1 ... 0 | | . . ... 0 | | 0 0 ...

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pythonnumpy入门简介

in1d(x, y) 得到一个表述"x元素是否包含于y"布尔型数组 setdiff1d(x, y) 集合差,即元素在x中且不在y中 setxor1d(x, y) 集合异或,即存在于一个数组中但不同时存在于两个数组中元素...函数  diag 以一维数组形式返回方阵对角线(或非对角线元素),获将一维数组转换 为方阵(非对角线元素为0)。...dot 矩阵乘法   #mat.dot(inv(mat)) # 与逆矩阵相乘,得到单位矩阵。...trace 计算对角线元素和 det 计算矩阵行列式 eig 计算方阵特征值和特征向量 inv 计算方阵逆  #inv(mat)  # 矩阵求逆 pinv 计算矩阵Moore-Penrose伪逆...dstack 以面向“深度”方式对数组进行堆叠(沿轴2) split 沿指定轴在指定位置拆分数组 hsplit, vsplit, dsplit split便捷化函数,分别沿着轴0、轴1和轴2进行拆分

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手把手教你将矩阵&概率画成图

每个矩阵对应一个图。 当我们以这种方式可视化矩阵时,神奇事就发生了。例如... 矩阵乘法即为沿连线向前运算。...给定两个矩阵(图)M:X×Y→R 和 N:Y×Z→R,我们可以通过将它们图拼在一起并沿着连线进行乘法运算:MN 第 ij 项输入,即连接 x_i 到 z_j 线值,是通过将沿 x_i 到 z_j...对称矩阵对应对称图。 如果一个矩阵等于它转置,即为对称矩阵。这种对称性常通过矩阵对角线映射得到。但现在可以从图中观察到对称性。...将两个矩阵做直和运算得到更大数组(与向量直和运算类似),即一个带有全零块大型分块矩阵。分块矩阵图通过将原矩阵图叠加得到。 ? 关于矩阵和图我们能展开更多讨论,但我想通过一个不同角度来探讨。...重要是,「关系」组合恰好是使用了上面的 Z_2 算法矩阵乘法

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学习笔记DL005:线性相关、生成子空间,范数,特殊类型矩阵、向量

A列向量看作从原点(origin,元素都是零向量)出发不同方向,确定有多少种方法到达向量b。向量x每个元素表示沿着方向走多远。xi表示沿第i个向量方向走多远。Ax=sumixiA:,i。...特殊类型矩阵、向量。 对角矩阵(diagonal matrix),只在主对角线上有非零元素,其他位置都是零。对角矩阵,当且仅当对于所有i != j,Di,j=0。单位矩阵,对角元素全部是1。...对角矩阵乘法计算高效。计算乘法diag(v)x,x中每个元素xi放大vi倍。diag(v)x=v⊙x。计算对角方阵矩阵很高效。...通过将矩阵限制为对象矩阵,得到计算代价较低(简单扼要)算法。 并非所有对角矩阵都是方阵。长方形矩阵也有可能是对角矩阵。非方阵对象矩阵没有逆矩阵,但有高效计算乘法。...长方形对角矩阵D,乘法Dx涉及x每个元素缩放。D是瘦长型矩阵,缩放后末尾添加零。D是胖宽型矩阵,缩放后去掉最后元素。 对称(symmetric)矩阵,转置和自己相等矩阵。A=A⫟。

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万字长文 | 线性代数本质课程笔记完整合集!

v告诉我们要沿x轴向右移动1个单位,沿y轴向上移动2个单位,而w告诉我们要沿x轴向右移动3个单位,沿y轴向下移动一个单位。...而根据矩阵乘法计算方法,便可以将投影计算方法和对位相乘再相加方法联系起来。 ?...没错,如果基向量都是一个矩阵特征向量,那么这个矩阵就是一个对角矩阵,而对角线值,就是对应特征值: ? 这句话反过来说对不对呢?即如果一个矩阵是对角矩阵,那么对应特征向量都是基向量?...三个矩阵相乘结果是一个对角矩阵,且对角线元素为对应特征值: ? 从直观上理解,由于选择了矩阵M特征向量作为新坐标系下基向量,基向量在变换中只是进行了缩放。...在这个坐标系中,求导是用一个无限阶矩阵描述,主对角线上方对角线有值,而其他地方为0,举个例子: ? 这个求导矩阵是怎么得到呢?

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盘一盘 Python 特别篇 23 - 爱因斯坦求和 einsum

叉积结果是矩阵是二维数组,而用于外积两个向量是一维数组,这个升维操作其实是由 "i,j" 来实现。用不同字母 i 和 j 就代表不同维度,对应着结果矩阵轴 0 和轴 1 维度。...A[:,:,None,None] * B[None,None,:,:] 规则总结:在字符串"ij,jk->ik" 中 箭头 -> 左边重复指标 j 指的是该轴上元素会相乘,这里有个隐含假设,那就是两个矩阵在轴...这样操作重复做最终填满形状为 (5, 2) 二维矩阵 ("ijk,jil->kl") ,因为 A 沿轴 2 元素个数是 5,B 沿轴 2 元素个数是 2。...8 指标 o 对应维度中元素个数为 5 4 总结 NumPy 包中 einsum 可以替代如下常用运算, 矩阵求迹: trace 求矩阵对角线: diag 张量(沿轴)求和: sum 张量转置:...transopose 矩阵乘法: dot 张量乘法: tensordot 向量内积: inner 外积: outer 另外两表胜千言!

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万字长文|线性代数本质课程笔记完整合集!

v告诉我们要沿x轴向右移动1个单位,沿y轴向上移动2个单位,而w告诉我们要沿x轴向右移动3个单位,沿y轴向下移动一个单位。...而根据矩阵乘法计算方法,便可以将投影计算方法和对位相乘再相加方法联系起来。 ?...没错,如果基向量都是一个矩阵特征向量,那么这个矩阵就是一个对角矩阵,而对角线值,就是对应特征值: ? 这句话反过来说对不对呢?即如果一个矩阵是对角矩阵,那么对应特征向量都是基向量?...三个矩阵相乘结果是一个对角矩阵,且对角线元素为对应特征值: ? 从直观上理解,由于选择了矩阵M特征向量作为新坐标系下基向量,基向量在变换中只是进行了缩放。...在这个坐标系中,求导是用一个无限阶矩阵描述,主对角线上方对角线有值,而其他地方为0,举个例子: ? 这个求导矩阵是怎么得到呢?

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干货 | 线性代数本质课程笔记完整合集

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线性代数本质课程笔记完整合集

v告诉我们要沿x轴向右移动1个单位,沿y轴向上移动2个单位,而w告诉我们要沿x轴向右移动3个单位,沿y轴向下移动一个单位。...而根据矩阵乘法计算方法,便可以将投影计算方法和对位相乘再相加方法联系起来。 ?...没错,如果基向量都是一个矩阵特征向量,那么这个矩阵就是一个对角矩阵,而对角线值,就是对应特征值: ? 这句话反过来说对不对呢?即如果一个矩阵是对角矩阵,那么对应特征向量都是基向量?...三个矩阵相乘结果是一个对角矩阵,且对角线元素为对应特征值: ? 从直观上理解,由于选择了矩阵M特征向量作为新坐标系下基向量,基向量在变换中只是进行了缩放。...在这个坐标系中,求导是用一个无限阶矩阵描述,主对角线上方对角线有值,而其他地方为0,举个例子: ? 这个求导矩阵是怎么得到呢?

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一起来学matlab-matlab学习笔记11 11_1 低维数组操作repmat函数,cat函数,diag函数

(4)可以通过MATLAB所提供其他函数来生成二维数组。 ? 三维数组创建 在创建二维数组过程中,需要严格保证所生成矩阵行和列数目相同。如果两者数目不同,那么系统将会出现错误提示。...repmat函数和cat函数 repmat(A,m,n)函数将矩阵A重复摆放m*n次后摆放成为新矩阵 cat(dim,A,B)按dim来联结A和B两个数组 ?...在对角元素和上下三角矩阵时,所定义第二个参数是以对角线k=0起始对角线,向上三角方向移动时,k数值增加,而向下三角方向移动时,k数值减小。...此外,对于非方阵矩阵对角线以过第一个元素方阵对角线对角线起始位置 kronecker乘法 对于kron函数执行是kronecker张量乘法运算,即将第一个参数数组每一个元素和第二个参数数组相乘...,形成一个分块矩阵,张量乘法不具有可交换性。

2.3K10

学习「线性代数」看哪篇?推荐这篇,超级棒!

v告诉我们要沿x轴向右移动1个单位,沿y轴向上移动2个单位,而w告诉我们要沿x轴向右移动3个单位,沿y轴向下移动一个单位。...而根据矩阵乘法计算方法,便可以将投影计算方法和对位相乘再相加方法联系起来。 ?...没错,如果基向量都是一个矩阵特征向量,那么这个矩阵就是一个对角矩阵,而对角线值,就是对应特征值: ? 这句话反过来说对不对呢?即如果一个矩阵是对角矩阵,那么对应特征向量都是基向量?...三个矩阵相乘结果是一个对角矩阵,且对角线元素为对应特征值: ? 从直观上理解,由于选择了矩阵M特征向量作为新坐标系下基向量,基向量在变换中只是进行了缩放。...在这个坐标系中,求导是用一个无限阶矩阵描述,主对角线上方对角线有值,而其他地方为0,举个例子: ? 这个求导矩阵是怎么得到呢?

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