机器学习（六） ——线性回归的多变量、特征缩放、标准方程法

机器学习（六）——线性回归的多变量、特征缩放、标准方程法

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一、多变量

当有n个特征值，m个变量时，h(x)=θ0+θ1x1+θ2x2…+θnxn，其中可以认为x0=1。因此，h(x)= θTx，其中θ是一维向量，θ=[θ0,θ1…θn] T，x也是一维向量，x=[x0,x1..xn] T，其中x0=1。

二、特征缩放（FeatureScaling）

特征缩放的目的，是为了让每个特征值在数量上更加接近，使得每个特征值的变化的影响相对比较“公平”。

其将每个特征值，除以变量中该特征值的范围（特征值最大值减最小值），将结果控制在-1~1之间。

对于x0，不需要改变，其仍是1，也在期望的范围内（-1~1）。

公式：特征值=（原值-特征平均值）/取值区间，取值区间=最大值-最小值。

三、学习速率α

α表示迭代至稳定值的速率。当θ用公式进行迭代，两次迭代之间的Δθ的值小于某个值（一般可以用10-3），则可以认为代价函数已经最小。

对于α，可以使用下列数据进行测试：

0.001、0.01、0.1、1、10…，或者可以用0.001、0.003、0.01、0.03、0.1、0.3、1…，即可以用3倍或10倍的速度，将α的值慢慢调整到一个区间，再进行微调。

四、多项式回归（Polynomialregression）

当图像用直线表示不是很准确的时候，可以考虑使用其他函数，如二次、三次、根号等函数进行表示。

五、标准方程法（normalequation）

1、公式推导

标准方程法是与梯度下降法功能相似的算法，旨在获取使代价函数值最小的参数θ。代价函数公式如下：

根据上述代价函数，令J对每个θ的倒数都为0，可以解得θ=(XTX)-1XTY。其中，Y=[y1,y2…yn]表示每个样本的结果，X=[]表示样本的集合。

由于这个方法是直接通过代数的方式，解出每个θ，因此，其不需要进行特征缩放，也不需要学习速率α。

2、特殊情况

由于用标准方程法时，涉及到要计算矩阵XTX的逆矩阵。但是XTX的结果有可能不可逆。

当使用python的numpy计算时，其会返回广义的逆结果。

主要原因：

出现这种情况的主要原因，主要有特征值数量多于训练集个数、特征值之间线性相关（如表示面积采用平方米和平方公里同时出现在特征值中）。

因此，首先需要考虑特征值是否冗余，并且清除不常用、区分度不大的特征值。

3、比较标准方程法和梯度下降算法

这两个方法都是旨在获取使代价函数值最小的参数θ，两个方法各有优缺点：

1）梯度下降算法

优点：当训练集很大的时候（百万级），速度很快。

缺点：需要调试出合适的学习速率α、需要多次迭代、特征值数量级不一致时需要特征缩放。

2）标准方程法

优点：不需要α、不需要迭代、不需要特征缩放，直接解出结果。

缺点：运算量大，当训练集很大时速度非常慢。

4、综合

因此，当训练集百万级时，考虑使用梯度下降算法；训练集在万级别时，考虑使用标准方程法。在万到百万级区间时，看情况使用，主要还是使用梯度下降算法。

——written by linhxx 2018.01.03