机器学习（八） ——过拟合与正则化

机器学习（八）——过拟合与正则化

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一、过拟合和欠拟合

1、概念

当针对样本集和特征值，进行预测的时候，推导θ、梯度下降等，都在一个前提，原值假设函数（hypnosis function）h(x)的表达式，例如是一阶、二阶还是更高阶等。

当阶数不足导致无法正确预测时，称为欠拟合（underfit）或高偏差（high bias）；当阶数太高，虽然能满足样本集，代价函数也接近0，但是仍不是一个好的预测函数，称为过拟合（overfitting）或高方差（high variance）。

例如根据房子的面积预测房价，欠拟合、正常情况、过拟合分别如下面三个图所示：

过拟合的情况比较明显，在只有一个影响因素的情况下，因为面积增到导致价格减少是不现实的，虽然满足了所有的样本集，但是这个模型是不正确的。

logistic回归同样有类似问题：

2、过拟合存在问题

过拟合主要是因为特征值太多、阶数太高引起，如果样本集数量不够，没法有效的进行训练，会导致预测的结果存在较大偏差，模型无法使用。

二、解决过拟合方案

1、画图，并根据图像判断是否正确，如上面的例子。这个只有在影响因素很少的情况下可行，因素多时，维度高，不容易图形表示，也不容易通过图形判断是否正确。

2、减少不必要的特征值，特别是重复的特征（如用平方米和平方尺两个特征计算面积）。可以通过人工选择或模型选择算法（model selection algorithm，后面会学到）来实现。但是，这样可能会导致损失一些特征信息。

3、通过正则化（regularization）的方式实现。这种方式，不需要损失任何特征值。

三、正则化

1、基本思路

当一个式子有四个特征值，且明显后两个特征值并不重要，则可以如下设代价函数：

这样，后面两个特征值由于被加了平方项，导致值需要非常小，才可以让整个代价函数很小。

2、正则化思路

当无法确认哪些特征值是不重要的时候，则应该使用正则化，其主要思想是通过减小所有的θ，这样可以获得更简单的h(x)，阶数更低；另外，也更不容易出现过度拟合的现象。

3、步骤

1）列出原先线性回归情况下的代价函数

2）改成以下公式

分析上面的公式，可以看出，代价函数加入了θ的平方项，这样使得要让代价函数值尽量小，就应该要每个θ都尽量小。

另外，上面的式子中，对θ的处理从1~n，而θ0并没有参与正则化处理。

其中，带λ的项，称为正则化项；λ称为正则化参数。该参数目的在于平衡训练集更好参与训练同时让θ都尽量小，最终达到获得更简单的h(x)，阶数更低。

需要注意的是，如果λ太大，例如10的10次方，则由于每个θ都太小，接近于0，导致h(x)约等于θ0，会出现欠拟合。

四、线性回归正则化

线性回归可以使用梯度下降和标准方程法，分别讨论如下：

1、梯度下降算法

根据上面的代价函数的公式，易得梯度下降算法需要迭代的方程如下：

其中，θ0由于不参与正则化，单独列出来。

化简上面的θj的式子，把θj提取出来，公式变换如下：

从上式与正则化之前的梯度下降算法对比，实际上就是θj多乘了一个(1-α*λ/m)，这个值略小于1，因此达到减小θj的目的。

2、标准方程法

对于标准方程法，正则化则需要加入下面括号带λ的这一项，这样从θ1~θm都被λ进行调整了。

之前讨论过XTX有可能不可逆的情况，但是已经经过数学论证，正则化后，只要λ>0，整个括号内的项必然可逆。

因此，正则化是解决标准方程法XTX有可能存在不可逆的方法之一。

五、logistic回归正则化

logistic回归的算法，实际上基本公式和线性回归的梯度下降法是一样的，只不过其h(x)不同，带入对应的h(x)，得到logistic回归的代价函数如下公式；

——written by linhxx 2018.01.05