CTC（Connectionist Temporal Classification）介绍

CTC解决什么问题

CTC，Connectionist Temporal Classification，用来解决输入序列和输出序列难以一一对应的问题。

举例来说，在语音识别中，我们希望音频中的音素和翻译后的字符可以一一对应，这是训练时一个很天然的想法。但是要对齐是一件很困难的事，如下图所示（图源见参考资料[1]），有人说话块，有人说话慢，每个人说话快慢不同，不可能手动地对音素和字符对齐，这样太耗时。

再比如，在OCR中使用RNN时，RNN的每一个输出要对应到字符图像中的每一个位置，要手工做这样的标记工作量太大，而且图像中的字符数量不同，字体样式不同，大小不同，导致输出不一定能和每个字符一一对应。

CTC基本概述

考虑一个LSTM，用w表示LSTM的参数，则LSTM可以表示为一个函数：y=Nw(x)

。

定义输入x的时间步为T，每个时间步上的特征维度记作m，表示m维特征。

x=(x1,x2,...,xT)xt=(xt1,xt2,...,xtm)

输出时间步也为T，和输入可以一一对应，每个时间步的输出维度作为n，表示n维输出，实际上是n个概率。

y=(y1,y2,...,yT)yt=(yt1,yt2,...,ytn)

假设要对26个英文字符进行识别，考虑到有些位置没有字符，定义一个-作为空白符加入到字符集合L′={a,b,c,...,x,y,z}∪{−}=L∪{−}={a,b,c,...,x,y,z,−}

，那么对于LSTM而言每个时间步的输出维度n就是27，表示27个字符在这个时间步上输出的概率。

如果根据这些概率进行选取，每个时间步选取一个元素，就可以得到输出序列，其输出空间可以记为L′T

。

定义一个B变换，对LSTM的输出序列（比如下例中的4个π

）进行变换，变换成真实输出（比如下例中的state），把连续的相同字符删减为1个并删去空白符。举例说明，当T=12时：

B(π1)B(π2)B(π3)B(π4)=B(−−stta−t−−−e)=state=B(sst−aaa−tee−)=state=B(−−sttaa−tee−)=state=B(sst−aa−t−−−e)=state

其中π

表示LSTM的一种输出序列。当我们优化LSTM时，只需要最大化以下概率，即给定输入x的情况下，输出为l的概率，l表示真实输出。对下式取负号，就可以使用梯度下降对其求最小。

p(l | x)=∑B(π)=lp(π|x)

假设时间步之间的输出独立，那么对于任意一个输出序列π

的概率计算式子如下，

p(π|x)=∏t=1Tytπt

其中下标πt

表示的是，输出序列在t时间步选取的元素对应的索引，比如该序列在第一个时间步选取的元素是a，那么得到的值就是1。选取的是z，那么得到的值就是26。选取的是空白符，那么得到的值就是27。为了方便观测，也用对应的字符表示，其实是一个意思，如下式所示。

π=(−−stta−t−−−e)p(π|x)=y1−⋅y2−⋅y3s⋅y4t⋅y5t⋅y6a⋅y7−⋅y8t⋅y9−⋅y10−⋅y11−⋅y12e

但是对于某一个真实输出，比如上述的state，有多个LSTM的输出序列可以通过B转换得到。这些序列都是我们要的结果，我们要使给定x，这些输出序列的概率加起来最大。如果逐条遍历来求得，时间复杂度是指数级的，因为有T个位置，每个位置有n种选择（字符集合的大小），那么就有nT

种可能。因此CTC借用了HMM中的“前向-后向算法”（forward-backward algorithm）来计算。

CTC中的前向后向算法

由于真实输出l

是一个序列，序列可以通过一个路径图中的一条路径来表示，我们也称输出序列l为路径l。定义路径l′为“在路径l每两个元素之间以及头尾插入空白符”，如：

l=statel′=−s−t−a−t−e−

对某个时间步的某个字符求导（这里用k表示字符集合中的某个字符或字符索引），恰好是与概率ytk

相关的路径。

∂p(l |x)∂ytk=∂∑B(π)=l,πt=kp(π|x)∂ytk

以前面的π1,π2,π3,π4

为例子，画出两条路径（还有两条没画出来），如下图所示（图源见参考资料[1]）。

4条路径都在t=6时经过了字符a，观察4条路径，可以得到如下式子。

π1π2π3π4=b=b1:5+a6+b7:12=r=r1:5+a6+r7:12=b1:5+a6+r7:12=r1:5+a6+b7:12

p(π1,π2,π3,π4|x)=y1−⋅y2−⋅y3s⋅y4t⋅y5t⋅y6a⋅y7−⋅y8t⋅y9−⋅y10−⋅y11−⋅y12e+y1s⋅y2s⋅y3t⋅y4−⋅y5a⋅y6a⋅y7a⋅y8−⋅y9t⋅y10e⋅y11e⋅y12−+y1−⋅y2−⋅y3s⋅y4t⋅y5t⋅y6a⋅y7a⋅y8−⋅y9t⋅y10e⋅y11e⋅y12−+y1s⋅y2s⋅y3t⋅y4−⋅y5a⋅y6a⋅y7−⋅y8t⋅y9−⋅y10−⋅y11−⋅y12e

令：

forwardbackward=p(b1:5+r1:5|x)=y1−⋅y2−⋅y3s⋅y4t⋅y5t+y1s⋅y2s⋅y3t⋅y4−⋅y5a=p(b7:12+r7:12|x)=y7−⋅y8t⋅y9−⋅y10−⋅y11−⋅y12e+y7a⋅y8−⋅y9t⋅y10e⋅y11e⋅y12−

那么可以做如下表示：

p(π1,π2,π3,π4|x)=forward⋅yta⋅backward

上述的forward和backward只包含了4条路径，如果推广一下forward和backward的含义，考虑所有路径，可做如下表示：

∑B(π)=l,π6=ap(π|x)=forward⋅yta⋅backward

定义forward为αt(l′k)

，表示t时刻经过l′k字符的路径概率中1-t的概率之和，式子定义如下。

αt(l′k)=∑B(π)=l, πt=l′k ∏t′=1tyt′πt′

t=1时，符号只能是空白符或l1

，可以得到以下初始条件：

α1(−)=y1−α1(l1)=y1l1α1(lt)=0,∀t>1

观察上图（（图源见参考资料[1]）可以发现，如果t=6时字符是a，那么t=5时只能是字符a，t，空白符三选一，否则经过B变换后无法得到state。 可以得到以下递推关系：

α6(a)=(α5(a)+α5(t)+α5(−))⋅y6a

更一般地，可以得到如下递推关系：

αt(l′k)=(αt−1(l′k)+αt−1(l′k−1)+αt−1(−))⋅ytl′k

定义backward为为βt(s)

，表示t时刻经过l′k字符的路径概率中t-T的概率之和，式子定义如下。

βt(l′k)=∑B(π)=l, πt=l′k ∏t′=tTyt′πt′

t=T时，符号只能是空白符或l|l′|−1

，可以得到以下初始条件：

βT(−)=yT−βT(l′|l′|−1)=yTl|l′|−1βT(l|l′|−i)=0,∀i>1

同理，可以得到如下递推关系：

βt(l′k)=(βt+1(l′k)+βt+1(l′k+1)+βt+1(−))⋅ytl′k

根据forward和backward的式子定义，它们相乘可以得到：

αt(l′k)βt(l′k)=∑B(π)=l, πt=l′k ytl′k∏t=1Tytπt

又因为p(l | x)

对l′k求导时，只跟那些πt=l′k的路径有关，那么求导时（注意是求导时）可以简写如下式子：

p(l | x)=∑B(π)=l, πt=l′kp(π|x)=∑B(π)=l, πt=l′k ∏t=1Tytπt

结合上面两式，得到：

p(l | x)=∑B(π)=l, πt=l′k αt(l′k)βt(l′k)ytl′k

最后可以得到求导式（这里用k来表示字符，和l′k

的含义相同）：

∂p(l |x)∂ytk=∂ ∑B(π)=l, πt=kαt(k)βt(k)ytk∂ytk

求导式里的forward和backward可以用前面的dp递推式计算出来，时间复杂度是nT

，相比于前面的指数复杂度nT

大大减小了计算量。

这样对LSTM的输出y求导之后，再根据y对LSTM里面的权重参数w进行链式求导，就可以使用梯度下降的方法来更新参数了。

CTC的预测

一种方法是Best Path search。计算概率最大的一条输出序列（假设时间步独立，那么直接在每个时间步取概率最大的字符输出即可），但是这样没有考虑多个输出序列对应一个真实输出这件事，举个例子，[s,s,-]和[s,s,s]的概率比[s,t,a]低，但是它们的概率之和会高于[s,t,a]。

第二种方法是Beam Search。假设指定B=3，预测过程如下图所示（图源见参考资料[2]）。在第一个时间步选取概率最大的三个字符，然后在第二个时间步也选取概率最大的三个字符，两两组合（概率相乘）可以组合成9个序列，这些序列在B转换之后会得到一些相同输出，把具有相同输出的序列进行合并，比如有3个序列都可以转换成a，把它们合并（概率加在一起），计算出概率最大的三个序列，然后继续和下一个时间步的字符进行同样的合并。

有一点需要注意的是合并相同字符时，比如我们看上图T=3的时候，第一个前缀序列a，在跟相同字符a合并的时候，除了产生a之外，还会产生一个aa的有效输出。这是因为这个前缀序列a在T=2的时候曾经是把空白符合并掉了，实际上这个前缀序列a后面是跟着一个空白符的，所以它在跟相同字符a合并的时候中间是有一个隐藏的空白符，合并之后得到的应该是两个a。

因此在合并相同字符时，如果要合并成aa，需要统计在这之前以空白符结尾的那些序列的概率，如果要合并成a，计算的是不以空白符结尾的那些序列的概率。出于这个事实，我们需要跟踪前两处输出，以便于后续的合并计算，见下图所示（图源见参考资料[2]）。

CTC的几个性质

第一个是条件独立性。CTC做了一个假设就是不同时间步的输出之间是独立的。这个假设对于很多序列问题来说并不成立，输出序列之间往往存在联系。

第二个是单调对齐。CTC只允许单调对齐，在语音识别中可能是有效的，但是在机器翻译中，比如目标语句中的一些比较后的词，可能与源语句中前面的一些词对应，这个CTC是没法做到的。

第三个是多对一映射。CTC的输入和输出是多对一的关系。这意味着输出长度不能超过输入长度，这在手写字体识别或者语音中不是什么问题，因为通常输入都会大于输出，但是对于输出长度大于输入长度的问题CTC就无法处理了。