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CTC(Connectionist Temporal Classification)介绍

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狼啸风云
修改2022-09-03 20:57:02
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文章被收录于专栏:计算机视觉理论及其实现

CTC解决什么问题

CTC,Connectionist Temporal Classification,用来解决输入序列和输出序列难以一一对应的问题。

举例来说,在语音识别中,我们希望音频中的音素和翻译后的字符可以一一对应,这是训练时一个很天然的想法。但是要对齐是一件很困难的事,如下图所示(图源见参考资料[1]),有人说话块,有人说话慢,每个人说话快慢不同,不可能手动地对音素和字符对齐,这样太耗时。

再比如,在OCR中使用RNN时,RNN的每一个输出要对应到字符图像中的每一个位置,要手工做这样的标记工作量太大,而且图像中的字符数量不同,字体样式不同,大小不同,导致输出不一定能和每个字符一一对应。


CTC基本概述

考虑一个LSTM,用w表示LSTM的参数,则LSTM可以表示为一个函数:y=Nw(x)

定义输入x的时间步为T,每个时间步上的特征维度记作m,表示m维特征。

x=(x1,x2,...,xT)xt=(xt1,xt2,...,xtm)

输出时间步也为T,和输入可以一一对应,每个时间步的输出维度作为n,表示n维输出,实际上是n个概率。

y=(y1,y2,...,yT)yt=(yt1,yt2,...,ytn)

假设要对26个英文字符进行识别,考虑到有些位置没有字符,定义一个-作为空白符加入到字符集合L′={a,b,c,...,x,y,z}∪{−}=L∪{−}={a,b,c,...,x,y,z,−}

,那么对于LSTM而言每个时间步的输出维度n就是27,表示27个字符在这个时间步上输出的概率。

如果根据这些概率进行选取,每个时间步选取一个元素,就可以得到输出序列,其输出空间可以记为L′T

定义一个B变换,对LSTM的输出序列(比如下例中的4个π

)进行变换,变换成真实输出(比如下例中的state),把连续的相同字符删减为1个并删去空白符。举例说明,当T=12时:

B(π1)B(π2)B(π3)B(π4)=B(−−stta−t−−−e)=state=B(sst−aaa−tee−)=state=B(−−sttaa−tee−)=state=B(sst−aa−t−−−e)=state

其中π

表示LSTM的一种输出序列。当我们优化LSTM时,只需要最大化以下概率,即给定输入x的情况下,输出为l的概率,l表示真实输出。对下式取负号,就可以使用梯度下降对其求最小。

p(l | x)=∑B(π)=lp(π|x)

假设时间步之间的输出独立,那么对于任意一个输出序列π

的概率计算式子如下,

p(π|x)=∏t=1Tytπt

其中下标πt

表示的是,输出序列在t时间步选取的元素对应的索引,比如该序列在第一个时间步选取的元素是a,那么得到的值就是1。选取的是z,那么得到的值就是26。选取的是空白符,那么得到的值就是27。为了方便观测,也用对应的字符表示,其实是一个意思,如下式所示。

π=(−−stta−t−−−e)p(π|x)=y1−⋅y2−⋅y3s⋅y4t⋅y5t⋅y6a⋅y7−⋅y8t⋅y9−⋅y10−⋅y11−⋅y12e

但是对于某一个真实输出,比如上述的state,有多个LSTM的输出序列可以通过B转换得到。这些序列都是我们要的结果,我们要使给定x,这些输出序列的概率加起来最大。如果逐条遍历来求得,时间复杂度是指数级的,因为有T个位置,每个位置有n种选择(字符集合的大小),那么就有nT

种可能。因此CTC借用了HMM中的“前向-后向算法”(forward-backward algorithm)来计算。


CTC中的前向后向算法

由于真实输出l

是一个序列,序列可以通过一个路径图中的一条路径来表示,我们也称输出序列l为路径l。定义路径l′为“在路径l每两个元素之间以及头尾插入空白符”,如:

l=statel′=−s−t−a−t−e−

对某个时间步的某个字符求导(这里用k表示字符集合中的某个字符或字符索引),恰好是与概率ytk

相关的路径。

∂p(l |x)∂ytk=∂∑B(π)=l,πt=kp(π|x)∂ytk

以前面的π1,π2,π3,π4

为例子,画出两条路径(还有两条没画出来),如下图所示(图源见参考资料[1])。

4条路径都在t=6时经过了字符a,观察4条路径,可以得到如下式子。

π1π2π3π4=b=b1:5+a6+b7:12=r=r1:5+a6+r7:12=b1:5+a6+r7:12=r1:5+a6+b7:12

p(π1,π2,π3,π4|x)=y1−⋅y2−⋅y3s⋅y4t⋅y5t⋅y6a⋅y7−⋅y8t⋅y9−⋅y10−⋅y11−⋅y12e+y1s⋅y2s⋅y3t⋅y4−⋅y5a⋅y6a⋅y7a⋅y8−⋅y9t⋅y10e⋅y11e⋅y12−+y1−⋅y2−⋅y3s⋅y4t⋅y5t⋅y6a⋅y7a⋅y8−⋅y9t⋅y10e⋅y11e⋅y12−+y1s⋅y2s⋅y3t⋅y4−⋅y5a⋅y6a⋅y7−⋅y8t⋅y9−⋅y10−⋅y11−⋅y12e

令:

forwardbackward=p(b1:5+r1:5|x)=y1−⋅y2−⋅y3s⋅y4t⋅y5t+y1s⋅y2s⋅y3t⋅y4−⋅y5a=p(b7:12+r7:12|x)=y7−⋅y8t⋅y9−⋅y10−⋅y11−⋅y12e+y7a⋅y8−⋅y9t⋅y10e⋅y11e⋅y12−

那么可以做如下表示:

p(π1,π2,π3,π4|x)=forward⋅yta⋅backward

上述的forward和backward只包含了4条路径,如果推广一下forward和backward的含义,考虑所有路径,可做如下表示:

∑B(π)=l,π6=ap(π|x)=forward⋅yta⋅backward

定义forward为αt(l′k)

,表示t时刻经过l′k字符的路径概率中1-t的概率之和,式子定义如下。

αt(l′k)=∑B(π)=l, πt=l′k ∏t′=1tyt′πt′

t=1时,符号只能是空白符或l1

,可以得到以下初始条件:

α1(−)=y1−α1(l1)=y1l1α1(lt)=0,∀t>1

观察上图((图源见参考资料[1])可以发现,如果t=6时字符是a,那么t=5时只能是字符a,t,空白符三选一,否则经过B变换后无法得到state。 可以得到以下递推关系:

α6(a)=(α5(a)+α5(t)+α5(−))⋅y6a

更一般地,可以得到如下递推关系:

αt(l′k)=(αt−1(l′k)+αt−1(l′k−1)+αt−1(−))⋅ytl′k

定义backward为为βt(s)

,表示t时刻经过l′k字符的路径概率中t-T的概率之和,式子定义如下。

βt(l′k)=∑B(π)=l, πt=l′k ∏t′=tTyt′πt′

t=T时,符号只能是空白符或l|l′|−1

,可以得到以下初始条件:

βT(−)=yT−βT(l′|l′|−1)=yTl|l′|−1βT(l|l′|−i)=0,∀i>1

同理,可以得到如下递推关系:

βt(l′k)=(βt+1(l′k)+βt+1(l′k+1)+βt+1(−))⋅ytl′k

根据forward和backward的式子定义,它们相乘可以得到:

αt(l′k)βt(l′k)=∑B(π)=l, πt=l′k ytl′k∏t=1Tytπt

又因为p(l | x)

对l′k求导时,只跟那些πt=l′k的路径有关,那么求导时(注意是求导时)可以简写如下式子:

p(l | x)=∑B(π)=l, πt=l′kp(π|x)=∑B(π)=l, πt=l′k ∏t=1Tytπt

结合上面两式,得到:

p(l | x)=∑B(π)=l, πt=l′k αt(l′k)βt(l′k)ytl′k

最后可以得到求导式(这里用k来表示字符,和l′k

的含义相同):

∂p(l |x)∂ytk=∂ ∑B(π)=l, πt=kαt(k)βt(k)ytk∂ytk

求导式里的forward和backward可以用前面的dp递推式计算出来,时间复杂度是nT

,相比于前面的指数复杂度nT

大大减小了计算量。

这样对LSTM的输出y求导之后,再根据y对LSTM里面的权重参数w进行链式求导,就可以使用梯度下降的方法来更新参数了。


CTC的预测

一种方法是Best Path search。计算概率最大的一条输出序列(假设时间步独立,那么直接在每个时间步取概率最大的字符输出即可),但是这样没有考虑多个输出序列对应一个真实输出这件事,举个例子,[s,s,-]和[s,s,s]的概率比[s,t,a]低,但是它们的概率之和会高于[s,t,a]。

第二种方法是Beam Search。假设指定B=3,预测过程如下图所示(图源见参考资料[2])。在第一个时间步选取概率最大的三个字符,然后在第二个时间步也选取概率最大的三个字符,两两组合(概率相乘)可以组合成9个序列,这些序列在B转换之后会得到一些相同输出,把具有相同输出的序列进行合并,比如有3个序列都可以转换成a,把它们合并(概率加在一起),计算出概率最大的三个序列,然后继续和下一个时间步的字符进行同样的合并。

有一点需要注意的是合并相同字符时,比如我们看上图T=3的时候,第一个前缀序列a,在跟相同字符a合并的时候,除了产生a之外,还会产生一个aa的有效输出。这是因为这个前缀序列a在T=2的时候曾经是把空白符合并掉了,实际上这个前缀序列a后面是跟着一个空白符的,所以它在跟相同字符a合并的时候中间是有一个隐藏的空白符,合并之后得到的应该是两个a。

因此在合并相同字符时,如果要合并成aa,需要统计在这之前以空白符结尾的那些序列的概率,如果要合并成a,计算的是不以空白符结尾的那些序列的概率。出于这个事实,我们需要跟踪前两处输出,以便于后续的合并计算,见下图所示(图源见参考资料[2])。


CTC的几个性质

第一个是条件独立性。CTC做了一个假设就是不同时间步的输出之间是独立的。这个假设对于很多序列问题来说并不成立,输出序列之间往往存在联系。

第二个是单调对齐。CTC只允许单调对齐,在语音识别中可能是有效的,但是在机器翻译中,比如目标语句中的一些比较后的词,可能与源语句中前面的一些词对应,这个CTC是没法做到的。

第三个是多对一映射。CTC的输入和输出是多对一的关系。这意味着输出长度不能超过输入长度,这在手写字体识别或者语音中不是什么问题,因为通常输入都会大于输出,但是对于输出长度大于输入长度的问题CTC就无法处理了。

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原始发表:2019/11/03 ,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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  • CTC基本概述
  • CTC中的前向后向算法
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