前往小程序,Get更优阅读体验!
立即前往
首页
学习
活动
专区
工具
TVP
发布
社区首页 >专栏 >高等数学——复杂函数的求导方法

高等数学——复杂函数的求导方法

作者头像
TechFlow-承志
发布2020-03-05 19:38:59
1K0
发布2020-03-05 19:38:59
举报
文章被收录于专栏:TechFlow

点击上方蓝字,和我一起学技术。

上一篇文章我们复习了函数求导的定义和一些常见函数的导数,今天这篇文章我们回顾一下复杂函数的求导方法。先强调一下,今天的文章很重要,想要看懂机器学习各种公式推导,想要能够自己推一推各种公式,函数求导是基础中的基础,在算法这个领域,它比积分要重要得多。

我们先来看第一种情况:多个函数进行四则运算的导数。

函数四则运算求导法则

我们假设和都在x点有导数,那么它们进行加减乘除四则运算之后的结果的导数有如下性质:

我们来看一下证明过程,熟悉证明过程并不是炫技,除了能加深对公式的理解之外,更重要的是防止遗忘。即使以后真的不记得公式的细节了,也可以临时推导一下,这是学算法和数学很重要的技巧。

我们先来看第一个,第一个很容易证明,我们直接套一下导数的公式即可:

第二个式子同样套用公式:

最后是第三个式子的推导,也并不复杂:

反函数求导法则

推导完了四则运算的求导法则,我们再来看一下反函数的求导法则。

我们陷在了看结论,如果函数在区间内单调、可导并且,那么它的反函数在区间内也可导,那么:

关于这个结论的证明很简单,因为在区间内单调、可导,所以它的反函数存在,并且也单调且连续。

所以:

由于连续,,所以上式成立。

我们来看一个例子:,则是它的反函数,根据上面的公式,我们可以得到:

由于,代入上式可以得到:

利用同样的方法,我们还可以求出其他反三角函数的导数,由于这些并不太常用,所以我们就不多介绍了,感兴趣的同学可以自己利用导数的定义推导一下,我想应该也不难。

复合函数求导

这是最后一个法则,也是本篇文章的重点,因为经常用到。我们现在已经搞定了一些常见的函数,还搞定了常见函数加减乘除之后求导的结果,但是对于一些看起来比较复杂的函数,我们还是不能一下写出它们的导数。

比如说:,比如等等,这些函数基本上都可以确定是连续并且可导的,但是我们一下子并不能写出它们的导数,而且要通过导数的定义推导也非常麻烦,对于这些导数就需要用到今天的重头戏,也就是复合函数的求导法则了。

对于复合函数而言,拥有如下法则:如果函数在点x处可导,并且在点处也可导,那么复合函数在x处可导,它的导数为:

如果复合函数的数量更多也是一样的,我们按照顺序依次相乘即可。由于公式的形式像是一根链条一样依次所以,复合函数求导法则也叫链式求导法则。在举例之前,我们先来证明一下。

由于在点u处可导,因此

因为存在,所以我们将它变形为:

其中a是时的无穷小,我们对两边同时乘上,可以得到:

上式当中和a都是无穷小,所以当时,,我们对上式两边同时除以,得:

于是:

又根据在点x处可导,所以有:

我们代入,就可以得到:

其实我们都知道相比于公式的证明,公式的运用更加重要,下面我们就来看两个例子,来巩固一下这个链式求导法则:

,求

我们令

所以:

还记得我们之前推导线性回归时候用到的均方差的公式吗?

我们来试着学以致用,求一下的导数,在机器学习当中,X和Y都是样本都是已知的参数,要求的是,所以我们对求导:

这个结果其实就是之前我们说的梯度,梯度本来就是由导数计算得到的,所以理解了链式求导的公式,可以再回过头看看之前线性回归和梯度推导的公式,相信会有更深刻的体会。

今天的文章篇幅有些长,但是除去证明之后,剩下的内容并不多,重要的是它的应用范围很广,所以希望大家都能学会。

如果觉得有所收获,请顺手点个在看或者转发吧,你们的举手之劳对我来说很重要。

本文参与 腾讯云自媒体同步曝光计划,分享自微信公众号。
原始发表:2020-02-13,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自 Coder梁 微信公众号,前往查看

如有侵权,请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与 腾讯云自媒体同步曝光计划  ,欢迎热爱写作的你一起参与!

评论
登录后参与评论
0 条评论
热度
最新
推荐阅读
目录
  • 反函数求导法则
  • 复合函数求导
领券
问题归档专栏文章快讯文章归档关键词归档开发者手册归档开发者手册 Section 归档