高等数学——复杂函数的求导方法

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上一篇文章我们复习了函数求导的定义和一些常见函数的导数，今天这篇文章我们回顾一下复杂函数的求导方法。先强调一下，今天的文章很重要，想要看懂机器学习各种公式推导，想要能够自己推一推各种公式，函数求导是基础中的基础，在算法这个领域，它比积分要重要得多。

我们先来看第一种情况：多个函数进行四则运算的导数。

函数四则运算求导法则

我们假设和都在x点有导数，那么它们进行加减乘除四则运算之后的结果的导数有如下性质：

我们来看一下证明过程，熟悉证明过程并不是炫技，除了能加深对公式的理解之外，更重要的是防止遗忘。即使以后真的不记得公式的细节了，也可以临时推导一下，这是学算法和数学很重要的技巧。

我们先来看第一个，第一个很容易证明，我们直接套一下导数的公式即可：

第二个式子同样套用公式：

最后是第三个式子的推导，也并不复杂：

反函数求导法则

推导完了四则运算的求导法则，我们再来看一下反函数的求导法则。

我们陷在了看结论，如果函数在区间内单调、可导并且，那么它的反函数在区间内也可导，那么：

关于这个结论的证明很简单，因为在区间内单调、可导，所以它的反函数存在，并且也单调且连续。

所以:

由于连续，，所以上式成立。

我们来看一个例子：，则是它的反函数，根据上面的公式，我们可以得到：

由于，代入上式可以得到：

利用同样的方法，我们还可以求出其他反三角函数的导数，由于这些并不太常用，所以我们就不多介绍了，感兴趣的同学可以自己利用导数的定义推导一下，我想应该也不难。

复合函数求导

这是最后一个法则，也是本篇文章的重点，因为经常用到。我们现在已经搞定了一些常见的函数，还搞定了常见函数加减乘除之后求导的结果，但是对于一些看起来比较复杂的函数，我们还是不能一下写出它们的导数。

比如说：，比如等等，这些函数基本上都可以确定是连续并且可导的，但是我们一下子并不能写出它们的导数，而且要通过导数的定义推导也非常麻烦，对于这些导数就需要用到今天的重头戏，也就是复合函数的求导法则了。

对于复合函数而言，拥有如下法则：如果函数在点x处可导，并且在点处也可导，那么复合函数在x处可导，它的导数为：

如果复合函数的数量更多也是一样的，我们按照顺序依次相乘即可。由于公式的形式像是一根链条一样依次所以，复合函数求导法则也叫链式求导法则。在举例之前，我们先来证明一下。

由于在点u处可导，因此

因为存在，所以我们将它变形为：

其中a是时的无穷小，我们对两边同时乘上，可以得到：

上式当中和a都是无穷小，所以当时，，我们对上式两边同时除以，得：

于是：

又根据在点x处可导，所以有：

我们代入，就可以得到：

其实我们都知道相比于公式的证明，公式的运用更加重要，下面我们就来看两个例子，来巩固一下这个链式求导法则：

，求

我们令

所以：

还记得我们之前推导线性回归时候用到的均方差的公式吗？

我们来试着学以致用，求一下的导数，在机器学习当中，X和Y都是样本都是已知的参数，要求的是，所以我们对求导：

这个结果其实就是之前我们说的梯度，梯度本来就是由导数计算得到的，所以理解了链式求导的公式，可以再回过头看看之前线性回归和梯度推导的公式，相信会有更深刻的体会。

今天的文章篇幅有些长，但是除去证明之后，剩下的内容并不多，重要的是它的应用范围很广，所以希望大家都能学会。

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