[吴恩达机器学习笔记]14降维5-7重建压缩表示/主成分数量选取/PCA应用误区

演化计算与人工智能

发布于 2020-08-14 14:54:48

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文章被收录于专栏：人工智能与演化计算成长与进阶

参考资料斯坦福大学 2014 机器学习教程中文笔记 by 黄海广

14.5 重建压缩表示 Reconstruction from Compressed Representation

使用 PCA，可以把 1000 维的数据压缩到 100 维特征，或将三维数据压缩到一二维表示。所以，如果如果把 PCA 任务是一个压缩算法，应该能回到这个压缩表示之前的形式，回到原有的高维数据的一种近似。下图是使用 PCA 将样本

x^{(i)}映射到z^{(i)}

上

即是否能通过某种方法将 z 上的点重新恢复成使用

x_{(1)}和x_{(2)}

二维方式表示的数据。

方法

使用

X_{appox}

表示重建样本的 n 维向量(n _ 1)，使用

U_{reduce}

表示使用 PCA 算法时选取的 K 个特征向量组成的特征矩阵(n _ k)，使用

表示使用 PCA 降维后数据样本的新特征(k _ 1).有：

X*{appox}=U*{reduce} _ Z

即

14.6 主成分数量的选取 Choosing the number of pricipal components

平均平方映射误差(Average Squared Projection Error)和总变差(Total Variation)

PCA 的目的是减少 平均平方映射误差 ，，即是要减少 原始样本

x^{(i)}

和 通过重建后的样本

x_{appox}^{(i)}

(低维映射点) 的平方差的平均值

\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}||x^{(i)}-x_{appox}^{(i)}||^{2}

数据的总变差(Total Variation)：定义为原始数据样本的长度的均值:

\frac1}{m}\sum^{m}_{i=1}|x^{(i)||^{2}

意为：平均来看原始数据距离零向量的距离。

K 值选择的经验法则

在 平均平方映射误差 和 总变差 的比值尽可能小的情况下 (一般选择 0.01) 选择尽可能小的 K 值, 对于此比例小于 0.01，专业来说：保留了数据 99%的差异性(99% of variance is retained)

选择了参数 K，并且 99%的差异性得以保留

常用的其他数值也有 0.05 和 0.10，则 95%和 90%的差异性得以保留。

主成分数量选择算法

效率较低的方法

先令 K=1，然后进行主要成分分析，获得

U_reduce

和

z^{(1)},z^(2),...z^{(m)}

,然后计算其低维映射点

x_{appox}^{(i)}

,然后计算 平均平方映射误差 和 总变差 的比值是否小于 1%。如果不是的话再令 K=2，如此类推，直到找到可以使得比例小于 1%的 最小 K 值

更好的方法

还有一些更好的方式来选择 K，当计算协方差矩阵 sigma，调用“svd”函数的时候，我们获得三个参数：

[U, S, V] = svd(sigma)

,其中 U 是特征向量,而 S 是一个对角矩阵，对角线的元素为

S_{11},S_{22},S_{33}...S_{nn}

而矩阵的其余元素都是 0。

可以证明的是(在此只说明公式不给出证明过程)，以下两个式子相等，即：

所以，原有的条件可以转化为：

根据上式找出满足条件的最小的 K 值即可。

14.7 主成分分析法的应用建议

测试集和验证集应使用和训练集一样的特征向量

U_{reduce}

假使我们正在针对一张 100×100 像素的图片进行某个计算机视觉的机器学习，即总共有 10000 个特征。

第一步是运用主要成分分析将数据压缩至 1000 个特征
然后对训练集运行学习算法
在预测时，采用训练集上学习而来的

U_{reduce}

将输入的特征 x 转换成特征向量 z，然后再进行预测

Note 如果我们有交叉验证集合测试集，也采用对训练集学习而来的

U_{reduce}

PCA 不是用于解决过拟合的方法

一个常见错误使用主要成分分析的情况是，将 PCA 用于减少过拟合（通过减少特征的数量）。这样做 非常不好，应该使用正则化化处理。原因在于主要成分分析只是近似地丢弃掉一些特征，它并不考虑任何与 结果变量 y(即预测的标签) 有关的信息，因此可能会丢失非常重要的特征。PCA 毕竟无监督学习的方法，任何的特征，无论是输入属性还是标签属性，其都一样对待，没有考虑到输入信息的减少对标签 y 的影响，通过 PCA 舍弃掉一部分输入属性却没有对标签做任何补偿。然而当我们进行正则化化处理时，由于逻辑回归或者神经网络或者 SVM 会考虑到正则化及输入属性的改变对结果变量(预测标签)的影响，并对其作出反馈，所以正则化不会丢掉重要的数据特征。

PCA 不是必要的方法

PCA 是当数据量大，所以要 压缩数据维度，减少数据占用内存，加快训练速度 时使用的，或者是需要通过 数据可视化 理解数据时使用的，而 不是一种必需的方法。默认把 PCA 加入到机器学习系统中而不考虑不加入 PCA 时系统的表现是不对的。由于 PCA 会损失掉一部分数据，也许正是数据中十分关键的维度 ，所以机器学习系统应当首先 不考虑 PCA 的使用 ，而使用常规的训练方法， 只在有必要的时候（算法运行太慢或者占用太多内存） 才考虑采用主要成分分析。