Python数据科学：正则化方法
接之前的线性回归文章，传送门如下。
上面这篇文章是利用方差膨胀因子，去诊断与减轻多重共线性对线性回归的影响。
需要人为介入(根据得到的方差膨胀值去判断)，耗费过多的时间。
于是便有了正则化方法的出现，通过收缩方法(正则化方法)进行回归。
正则化方法主要包括岭回归与LASSO回归。
/ 01 / 岭回归
岭回归通过人为加入的惩罚项(约束项)，对回归系数进行估计，为有偏估计。
有偏估计，允许估计有不大的偏度，以换取估计的误差显著减小，并在其残差平方和为最小的原则下估计回归系数。
通常岭回归方程中的R²会稍低于线性回归分析，但回归系数的显著性往往明显高于普通线性回归。
这里不对相应的理论知识进行细说，说实话小F也是晕乎乎...
所以选择先调包，看看效果是啥样的。
使用机器学习框架scikit-learn进行岭回归参数的选择(正则化系数)。
数据是书中的数据，已上传网盘，公众号回复「正则化」，即可获取。
scikit-learn当中的模型不会默认对数据标准化，必须手动执行。
标准化后的数据可以消除量纲，让每个变量的系数在一定意义下进行直接比较。
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import Ridge
from sklearn.linear_model import RidgeCV
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
# 消除pandas输出省略号情况及换行情况
pd.set_option('display.max_columns', 500)
pd.set_option('display.width', 1000)
# 读取数据,skipinitialspace:忽略分隔符后的空白
df = pd.read_csv('creditcard_exp.csv', skipinitialspace=True)
# 获取信用卡有支出的行数据
exp = df[df['avg_exp'].notnull()].copy().iloc[:, 2:].drop('age2', axis=1)
# 获取信用卡无支出的行数据,NaN
exp_new = df[df['avg_exp'].isnull()].copy().iloc[:, 2:].drop('age2', axis=1)
# 选择4个连续变量,分别是年龄 收入 当地小区价格 当地人均收入
continuous_xcols = ['Age', 'Income', 'dist_home_val', 'dist_avg_income']
# 标准化
scaler = StandardScaler()
# 解释变量,二维数组
X = scaler.fit_transform(exp[continuous_xcols])
# 被解释变量,一维数组
y = exp['avg_exp_ln']
# 生成正则化系数
alphas = np.logspace(-2, 3, 100, base=10)
# 使用不同的正则化系数对模型进行交叉验证
rcv = RidgeCV(alphas=alphas, store_cv_values=True)
# 使用数据集训练(fit)
rcv.fit(X, y)
# 输出最优参数,正则化系数及相应模型R²
print('The best alpha is {}'.format(rcv.alpha_))
print('The r-square is {}'.format(rcv.score(X, y)))
# 训练好后使用transform进行数据转换
X_new = scaler.transform(exp_new[continuous_xcols])
# 使用模型对数据做预测
print(np.exp(rcv.predict(X_new)[:5]))输出结果如下。
最优正则化系数为0.29，模型R²为0.475。
并使用最优正则化系数下的岭回归模型预测数据。
对不同正则化系数下模型的均方误差进行可视化。
# 正则化系数搜索空间当中每轮交叉验证的结果,模型的均方误差
cv_values = rcv.cv_values_
n_fold, n_alphas = cv_values.shape
# 模型均方误差上下波动值
cv_mean = cv_values.mean(axis=0)
cv_std = cv_values.std(axis=0)
ub = cv_mean + cv_std / np.sqrt(n_fold)
lb = cv_mean - cv_std / np.sqrt(n_fold)
# 绘制折线图,x轴是指数型形式
plt.semilogx(alphas, cv_mean, label='mean_score')
# y1(lb)和y2(ub)之间进行填充
plt.fill_between(alphas, lb, ub, alpha=0.2)
plt.xlabel('$\\alpha$')
plt.ylabel('mean squared errors')
plt.legend(loc='best')
plt.show()输出结果如下。
发现正则化系数在40或50以下时，模型的均方误差相差不大。
当系数超过该阈值时，均方误差则快速上升。
所以正则化系数只要小于40或50，模型的拟合效果应该都不错。
正则化系数越小则模型拟合越好，但过拟合情况也越容易发生。
正则化系数越大，则越不容易过拟合，但模型的偏差越大。
RidgeCV通过交叉验证，可以快速返回“最优”的正则化系数。
当这只是基于数值计算的，可能最终结果并不符合业务逻辑。
比如本次模型的变量系数。
# 输出模型的变量系数
print(rcv.coef_)
# 输出结果
[ 0.03321449 -0.30956185 0.05551208 0.59067449]发现收入的系数为负值，这肯定是不合理的。
下面通过岭迹图进行进一步分析。
岭迹图是在不同正则化系数下变量系数的轨迹。
ridge = Ridge()
coefs = []
# 不同正则化系数下的变量系数
for alpha in alphas:
ridge.set_params(alpha=alpha)
ridge.fit(X, y)
coefs.append(ridge.coef_)
# 绘制变量系数随正则化系数变化的轨迹
ax = plt.gca()
ax.plot(alphas, coefs)
ax.set_xscale('log')
plt.xlabel('alpha')
plt.ylabel('weights')
plt.title('Ridge coefficients as a function of the regularization')
plt.axis('tight')
plt.show()输出结果。
①有两个变量的系数在不同的正则化系数下都很接近于0，那么可以选择删除。
②正则化系数越大，对变量系数的惩罚越大，所有变量的系数都趋近于0。
③有一个变量的系数变化非常大(有正有负)，说明该系数的方差大，存在共线性的情况。
综合模型均方误差和岭迹图的情况，选取正则化系数为40。
如果大于40，则模型均方误差增大，模型拟合效果变差。
如果小于40，则变量系数不稳定，共线性没有得到抑制。
那么就来看看，当正则化系数为40时，模型变量系数的情况。
ridge.set_params(alpha=40)
ridge.fit(X, y)
# 输出变量系数
print(ridge.coef_)
# 输出模型R²
print(ridge.score(X, y))
# 预测数据
print(np.exp(ridge.predict(X_new)[:5]))
# 输出结果
[0.03293109 0.09907747 0.04976305 0.12101456]
0.4255673043353688
[934.79025945 727.11042209 703.88143602 759.04342764 709.54172995]发现变量系数都为正值，符合业务直觉。
收入和当地人均收入这两个变量可以保留，另外两个删除。
/ 02/ LASSO回归
LASSO回归，在令回归系数的绝对值之和小于一个常数的约束条件下，使残差平方和最小化。
从而能够产生某些严格等于0的回归系数，得到解释力较强的模型。
相比岭回归，LASSO回归还可以进行变量筛选。
使用LassoCV交叉验证确定最优的正则化系数。
# 生成正则化系数
lasso_alphas = np.logspace(-3, 0, 100, base=10)
# 使用不同的正则化系数对模型进行交叉验证
lcv = LassoCV(alphas=lasso_alphas, cv=10)
# 使用数据集训练(fit)
lcv.fit(X, y)
# 输出最优参数,正则化系数及相应模型R²
print('The best alpha is {}'.format(lcv.alpha_))
print('The r-square is {}'.format(lcv.score(X, y)))
# 输出结果
The best alpha is 0.04037017258596556
The r-square is 0.4426451069862233发现最优的正则化系数为0.04，模型R²为0.443。
接下来获取不同正则化系数下的变量系数轨迹。
lasso = Lasso()
lasso_coefs = []
# 不同正则化系数下的变量系数
for alpha in lasso_alphas:
lasso.set_params(alpha=alpha)
lasso.fit(X, y)
lasso_coefs.append(lasso.coef_)
# 绘制变量系数随正则化系数变化的轨迹
ax = plt.gca()
ax.plot(lasso_alphas, lasso_coefs)
ax.set_xscale('log')
plt.xlabel('alpha')
plt.ylabel('weights')
plt.title('Lasso coefficients as a function of the regularization')
plt.axis('tight')
plt.show()输出结果。
发现随着正则化系数的增大，所有变量的系数会在某一阈值突降为0。
其中缘由与LASSO回归方程有关，不细说。
输出LASSO回归的变量系数。
print(lcv.coef_)
# 输出结果
[0. 0. 0.02789489 0.26549855]发现前两个变量被筛选掉了，即年龄和收入。
为啥和岭回归的结果不一样呢？？？