高数2-十大定理

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数学不就是授之以鱼嘛 然后考之以 鱽鱾鲀鱿鲃鲂鲉鲌鲄鳐鳍鳘鳛鳕鳓鳔鳖

十大定理

设f(x)在[a,b]上连续

¶1. 有界性

|f(x)|\leq K

¶2. 最值定理

m\leq f(x)\leq M

¶3. 介值定理

若m\leq \mu\leq M，\exists\ \xi\in [a,b]，使f(\xi)=\mu

¶4. 零点定理

若 f(a)\cdot f(b)<0\exists\ \xi\in (a,b) ，使f(\xi)=0

¶5.费马定理

设f(x)在x_0处：1. 可导 2. 取极值，则f’(x_0)=0

¶6. 罗尔定理

若f(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，且f(a)=f(b) ，则 \exists\ \xi\in(a,b) ，使得f’(\xi)=0

¶7. 拉格朗日中值定理

若f(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，则\exists\ \xi\in (a,b) ，使得 f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a)

¶8. 柯西中值定理

若f(x)、g(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，且g’(x)\neq 0 ，则

\exists\ \xi\in(a,b) ，使得 \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f’(\xi)}{g’(\xi)}

¶9. 泰勒定理（泰勒公式）

n阶带皮亚诺余项：条件为在$x_0$处n阶可导 $f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\ ,x\xrightarrow{} x_0$

n阶带拉格朗日余项：条件为 n+1阶可导

$f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\ ,x\xrightarrow{} x_0$

¶10. 积分中值定理（平均值定理）

若 f(x)在 [a,b] 连续，则\exists\ \xi\in(a,b)，使得 \int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)

【注】

• 称\bar{f}=\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx 叫f(x) 在[a,b] 上的平均值。
• 离散化 \bar{f}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)