卷积神经网络（CNN）| 笔记 | 1

yiyun

发布于 2022-04-01 16:30:13

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卷积层

输入图片: 5*5*3

卷积核:   3*3*3
  - 卷积核有2个: Filter W0, Filter W1
  
偏置:    1*1*1
  - 偏置有2个:   Bias b0, Bias b1
  
卷积结果(Output Volumn): 3*3*2

步长(stride):    2

补充: 输入: 7∗7∗3 中 7∗7 是因为 pad = 1 （在图片边界行和列都补零，补零的行和的数目是1）补零作用：提取图片边界的特征。7∗7 指图片高h * 宽w 而之所以 ∗3 是因为，对于彩色图片，一般采用 RGB 3原色表示，也称 3通道。 Q: 卷积核深度为何设为 3 ? A: 因为输入是 3通道，所以卷积核深度必须与输入的深度相同。至于卷积核宽w，高h 则是可变化的，但是宽高必须相等。 => w0:,:,0 * x:,:,0蓝色区域矩阵(R通道) + w0:,:,1 * x:,:,1蓝色区域矩阵（G通道）+ w0:,:,2 * x:,:,2蓝色区域矩阵（B通道） + b0（千万不能丢，因为 y = w * x + b）第一项 => 0 * 1 + 0 * 1 + 0 * 1 + 0 * (-1) + 1 * (-1) + 1 * 0 + 0 * (-1) + 1 * 1 + 1 * 0 = 0 第二项 => 0 * (-1) + 0 * (-1) + 0 * 1 + 0 * (-1) + 0 * 1 + 1 * 0 + 0 * (-1) + 2 * 1 + 2 * 0 = 2 第三项 => 0 * 1 + 0 * 0 + 0 * (-1) + 0 * 0 + 2 * 0 + 2 * 0 + 0 * 1 + 0 * (-1) + 0 * (-1) = 0 卷积核输出o0,0,0 = > 第一项 + 第二项 + 第三项 + b0 = 0 + 2 + 0 + 1 = 3

全连接层存在的问题

之前介绍的全连接的神经网络中使用了全连接层（Affine层）。在全连接层中，相邻层的神经元全部连接在一起，输出的数量可以任意决定。

全连接层存在什么问题呢？

那就是数据的形状被“忽视”了。

比如，输入数据是图像时，图像通常是高、长、通道方向上的3维形状。

但是，向全连接层输入时，需要将3维数据拉平为1维数据。

实际上，前面提到的使用了MNIST数据集的例子中，输入图像就是1通道、高28像素、长28像素的（1, 28, 28）形状，但却被排成1列，以784个数据的形式输入到最开始的Affine层。

而卷积层可以保持形状不变。当输入数据是图像时，卷积层会以3维数据的形式接收输入数据，并同样以3维数据的形式输出至下一层。因此，在CNN中，可以（有可能）正确理解图像等具有形状的数据。另外，CNN中，有时将卷积层的输入输出数据称为特征图（feature map）。其中，卷积层的输入数据称为输入特征图（input feature map），输出数据称为输出特征图（output feature map）。本书中将“输入输出数据”和“特征图”作为含义相同的词使用。

卷积运算

卷积层进行的处理就是卷积运算。

卷积运算相当于图像处理中的“滤波器运算”。在介绍卷积运算时，我们来看一个具体的例子（图7-3）。

如图7-3所示，卷积运算对输入数据应用滤波器。在这个例子中，输入数据是有高长方向的形状的数据，滤波器也一样，有高长方向上的维度。假设用（height, width）表示数据和滤波器的形状，则在本例中，输入大小是 (4, 4)，滤波器大小是(3, 3)，输出大小是(2, 2)。另外，有的文献中也会用“核”这个词来表示这里所说的“滤波器”。

对于输入数据，卷积运算以一定间隔滑动滤波器的窗口并应用。这里所说的窗口是指图7-4中灰色的3 × 3的部分。如图7-4所示，将各个位置上滤波器的元素和输入的对应元素相乘，然后再求和（有时将这个计算称为 乘积累加运算 ）。然后，将这个结果保存到输出的对应位置。将这个过程在所有位置都进行一遍，就可以得到卷积运算的输出。

在全连接的神经网络中，除了权重参数，还存在偏置。CNN中，滤波器的参数就对应之前的权重。并且，CNN中也存在偏置。图7-3的卷积运算的例子一直展示到了应用滤波器的阶段。包含偏置的卷积运算的处理流如图7-5所示。

如图7-5所示，向应用了滤波器的数据加上了偏置。偏置通常只有1个（1 × 1）（本例中，相对于应用了滤波器的4个数据，偏置只有1个），这个值会被加到应用了滤波器的所有元素上。

填充

在进行卷积层的处理之前，有时要向输入数据的周围填入固定的数据（比如0等），这称为 填充（padding），是卷积运算中经常会用到的处理。比如，在图7-6的例子中，对大小为(4, 4)的输入数据应用了幅度为1的填充。“幅度为1的填充”是指用幅度为1像素的0填充周围。

如图7-6所示，通过填充，大小为(4, 4)的输入数据变成了(6, 6)的形状。然后，应用大小为(3, 3)的滤波器，生成了大小为(4, 4)的输出数据。这个例子中将填充设成了1，不过填充的值也可以设置成2、3等任意的整数。在图7-5 的例子中，如果将填充设为2，则输入数据的大小变为(8, 8)；如果将填充设为3，则大小变为(10, 10)。

因此最后，输出 (4, 4)

注意：使用填充主要是为了调整输出的大小。比如，对大小为(4, 4)的输入数据应用(3, 3)的滤波器时，输出大小变为(2, 2)，相当于输出大小比输入大小缩小了2个元素。这在反复进行多次卷积运算的深度网络中会成为问题。为什么呢？因为如果每次进行卷积运算都会缩小空间，那么在某个时刻输出大小就有可能变为1，导致无法再应用卷积运算。为了避免出现这样的情况，就要使用填充。在刚才的例子中，将填充的幅度设为1，那么相对于输入大小(4, 4)，输出大小也保持为原来的(4, 4)。因此，卷积运算就可以在保持空间大小不变的情况下将数据传给下一层。

步幅

应用滤波器的位置间隔称为 步幅（stride） 。

之前的例子中步幅都是1，如果将步幅设为2，则如图7-7所示，应用滤波器的窗口的间隔变为2个元素。

在图7-7的例子中，对输入大小为(7, 7)的数据，以步幅2应用了滤波器。通过将步幅设为2，输出大小变为(3, 3)。像这样，步幅可以指定应用滤波器的间隔。综上，增大步幅后，输出大小会变小。而增大填充后，输出大小会变大。 如果将这样的关系写成算式，会如何呢？接下来，我们看一下对于填充和步幅，如何计算输出大小。

这里，假设输入大小为(H,W) ，滤波器大小为 (FH,FW) ，输出大小为 (OH,OW) ，填充为P，步幅为S。

此时，输出大小可通过式(7.1)进行计算。

现在，我们使用这个算式，试着做几个计算。

例1：图7-6的例子

输入大小：(4, 4)；填充：1；步幅：1；滤波器大小：(3, 3)

例2：图7-7的例子

输入大小：(7, 7)；填充：0；步幅：2；滤波器大小：(3, 3)

例3

输入大小：(28, 31)；填充：2；步幅：3；滤波器大小：(5, 5)

3维数据的卷积运算

之前的卷积运算的例子都是以有高、长方向的2维形状为对象的。但是，图像是3维数据，除了高、长方向之外，还需要处理通道方向。这里，我们按照与之前相同的顺序，看一下对加上了通道方向的3维数据进行卷积运算的例子。图7-8是卷积运算的例子，图7-9是计算顺序。这里以3通道的数据为例，展示了卷积运算的结果。和2维数据时（图7-3的例子）相比，可以发现纵深方向（通道方向）上特征图增加了。通道方向上有多个特征图时，会按通道进行输入数据和滤波器的卷积运算，并将结果相加，从而得到输出。

需要注意的是，在3维数据的卷积运算中，输入数据和滤波器的通道数要设为相同的值。 在这个例子中，输入数据和滤波器的通道数一致，均为3。滤波器大小可以设定为任意值（不过，每个通道的滤波器大小要全部相同）。这个例子中滤波器大小为(3, 3)，但也可以设定为(2, 2)、(1, 1)、(5, 5)等任意值。再强调一下，通道数只能设定为和输入数据的通道数相同的值（本例中为3）。

结合方块思考

将数据和滤波器结合长方体的方块来考虑，3维数据的卷积运算会很容易理解。

方块是如图7-10所示的3维长方体。把3维数据表示为多维数组时，书写顺序为（channel, height, width）。

比如，通道数为C、高度为H、长度为W的数据的形状可以写成（C, H,W）。

滤波器也一样，要按（channel, height, width）的顺序书写。

比如，通道数为C、滤波器高度为FH（FilterHeight）、长度为FW（Filter Width）时，可以写成（C, FH, FW）。

在这个例子中，数据输出是1张特征图。所谓1张特征图，换句话说，就是通道数为1的特征图。那么，如果要在通道方向上也拥有多个卷积运算的输出，该怎么做呢？为此，就需要用到多个滤波器（权重）。用图表示的话，如图7-11所示。

图7-11中，通过应用FN个滤波器，输出特征图也生成了FN个。如果将这FN个特征图汇集在一起，就得到了形状为(FN, OH,OW)的方块。将这个方块传给下一层，就是CNN的处理流。如图7-11所示，关于卷积运算的滤波器，也必须考虑滤波器的数量。因此，作为4维数据，滤波器的权重数据要按(output_channel, input_ channel, height, width)的顺序书写。比如，通道数为3、大小为5 × 5的滤波器有20个时，可以写成(20, 3, 5, 5)。卷积运算中（和全连接层一样）存在偏置。在图7-11的例子中，如果进一步追加偏置的加法运算处理，则结果如下面的图7-12所示。图7-12中，每个通道只有一个偏置。这里，偏置的形状是(FN, 1, 1)，滤波器的输出结果的形状是(FN, OH,OW)。这两个方块相加时，要对滤波器的输出结果(FN, OH,OW)按通道加上相同的偏置值。另外，不同形状的方块相加时，可以基于NumPy的广播功能轻松实现（1.5.5节）。

批处理

神经网络的处理中进行了将输入数据打包的批处理。之前的全连接神经网络的实现也对应了批处理，通过批处理，能够实现处理的高效化和学习时对mini-batch的对应。我们希望卷积运算也同样对应批处理。为此，需要将在各层间传递的数据保存为4维数据。具体地讲，就是按(batch_num, channel, height, width) 的顺序保存数据。比如，将图7-12中的处理改成对N个数据进行批处理时，数据的形状如图7-13所示。图7-13的批处理版的数据流中，在各个数据的开头添加了批用的维度。像这样，数据作为4维的形状在各层间传递。这里需要注意的是，网络间传递的是4维数据，对这N个数据进行了卷积运算。也就是说，批处理将N次的处理汇总成了1次进行。

池化层

池化是缩小高、长方向上的空间的运算。比如，如图7-14所示，进行将 2 × 2的区域集约成1个元素的处理，缩小空间大小。

图7-14的例子是按步幅2进行2 × 2的Max池化时的处理顺序。 “Max 池化”是获取最大值的运算，“2 × 2”表示目标区域的大小。如图所示，从 2 × 2的区域中取出最大的元素。此外，这个例子中将步幅设为了2，所以 2 × 2的窗口的移动间隔为2个元素。另外，一般来说，池化的窗口大小会和步幅设定成相同的值。 比如，3 × 3的窗口的步幅会设为3，4 × 4的窗口的步幅会设为4等。 注意： 除了Max池化之外，还有Average池化等。相对于Max池化是从目标区域中取出最大值，Average池化则是计算目标区域的平均值。 在图像识别领域，主要使用Max池化。 因此，本书中说到“池化层”时，指的是Max池化。

池化层的特征

池化层有以下特征。

没有要学习的参数池化层和卷积层不同，没有要学习的参数。池化只是从目标区域中取最大值（或者平均值），所以不存在要学习的参数。
通道数不发生变化经过池化运算，输入数据和输出数据的通道数不会发生变化。如图7-15 所示，计算是按通道独立进行的。

对微小的位置变化具有鲁棒性（健壮）输入数据发生微小偏差时，池化仍会返回相同的结果。因此，池化对输入数据的微小偏差具有鲁棒性。比如，3 × 3的池化的情况下，如图 7-16所示，池化会吸收输入数据的偏差（根据数据的不同，结果有可能不一致）。

卷积层和池化层的实现

前面我们详细介绍了卷积层和池化层，本节我们就用Python来实现这两个层。和第5章一样，也给进行实现的类赋予forward和backward方法，并使其可以作为模块使用。大家可能会感觉卷积层和池化层的实现很复杂，但实际上，通过使用某种技巧，就可以很轻松地实现。本节将介绍这种技巧，将问题简化，然后再进行卷积层的实现。

4维数组

如前所述，CNN中各层间传递的数据是4维数据。所谓4维数据，比如数据的形状是__(10, 1, 28, 28)__，则它对应__10个高为28、长为28、通道为1__的数据。用Python来实现的话，如下所示。

import numpy as np

x = np.random.rand(10, 1, 28, 28) # 随机生成数据

x.shape

# (10, 1, 28, 28)

如果要访问第1个数据的第1个通道的空间数据，可以写成下面这样。

x[0, 0] # 或者x[0][0]

x[0, 0].shape

# (28, 28)

像这样，CNN中处理的是4维数据，因此卷积运算的实现看上去会很复杂，但是通过使用下面要介绍的im2col这个技巧，问题就会变得很简单。

基于im2col的展开

如果老老实实地实现卷积运算，估计要重复好几层的for语句。这样的实现有点麻烦，而且，NumPy中存在使用for语句后处理变慢的缺点（NumPy 中，访问元素时最好不要用for语句）。这里，我们不使用for语句，而是使用im2col这个便利的函数进行简单的实现。 im2col是一个函数，将输入数据展开以适合滤波器（权重）。如图7-17所示，对3维的输入数据应用im2col后，数据转换为2维矩阵（正确地讲，是把包含批数量的4维数据转换成了2维数据）。

im2col会把输入数据展开以适合滤波器（权重）。具体地说，如图7-18所示，对于输入数据，将应用滤波器的区域（3维方块）横向展开为1列。 im2col会在所有应用滤波器的地方进行这个展开处理。

在图7-18中，为了便于观察，将步幅设置得很大，以使滤波器的应用区域不重叠。而在实际的卷积运算中，滤波器的应用区域几乎都是重叠的。在滤波器的应用区域重叠的情况下，使用im2col展开后，展开后的元素个数会多于原方块的元素个数。因此，使用im2col的实现存在比普通的实现消耗更多内存的缺点。但是，汇总成一个大的矩阵进行计算，对计算机的计算颇有益处。比如，在矩阵计算的库（线性代数库）等中，矩阵计算的实现已被高度最优化，可以高速地进行大矩阵的乘法运算。因此，通过归结到矩阵计算上，可以有效地利用线性代数库。注： im2col这个名称是“image to column”的缩写，翻译过来就是“从图像到矩阵”的意思。 Caffe、Chainer等深度学习框架中有名为im2col的函数，并且在卷积层的实现中，都使用了im2col。使用im2col展开输入数据后，之后就只需将卷积层的滤波器（权重）纵向展开为1列，并计算2个矩阵的乘积即可（参照图7-19）。这和全连接层的Affine层进行的处理基本相同。如图7-19所示，基于im2col方式的输出结果是2维矩阵。因为CNN中数据会保存为4维数组，所以要将2维输出数据转换为合适的形状。以上就是卷积层的实现流程。

卷积层的实现

im2col会考虑滤波器大小、步幅、填充，将输入数据展开为2维数组。现在，我们来实际使用一下这个im2col。

import sys, os 
sys.path.append(os.pardir) 
from common.util import im2col

print('完成')

x1 = np.random.rand(1, 3, 7, 7) 
col1 = im2col(x1, 5, 5, stride=1, pad=0) 

print(col1.shape) # (9, 75)

x2 = np.random.rand(10, 3, 7, 7) # 10个数据 
col2 = im2col(x2, 5, 5, stride=1, pad=0)

print(col2.shape) # (90, 75)

这里举了两个例子。第一个是批大小为1、通道为3的7 × 7的数据，第二个的批大小为10，数据形状和第一个相同。分别对其应用im2col函数，在这两种情形下，第2维的元素个数均为75。这是滤波器（通道为3、大小为 5 × 5）的元素个数的总和。批大小为1时，im2col的结果是(9,75)。而第2个例子中批大小为10，所以保存了10倍的数据，即(90,75)。现在使用im2col来实现卷积层。这里我们将卷积层实现为名为Convolution 的类。

class Convolution:
    
    def __init__(self, w, b, stride = 1, pad = 0):
            self.w = w
            self.b = b
            self.stride = stride
            self.pad = pad
            
    def forward(self, x):
        FN, C, FH, FW = self.w.shape
        N, C, H, W = x.shape
        out_h = int(1 + (H + 2*self.pad - FH) / self.stride)
        out_w = int(1 + (W + 2*self.pad - FW) / self.stride)
        
        col = im2col(x, FH, FW, self.stride, self.pad)
        # 滤波器的展开
        col_W = self.w.reshape(FN, -1).T
        out = np.dot(col, col_W) + self.b
        
        out = out.reshape(N, out_h, out_w, -1).transpose(0, 3, 1, 2)
        
        return out

卷积层的初始化方法将滤波器（权重）、偏置、步幅、填充作为参数接收。滤波器是(FN, C, FH, FW)的4维形状。另外，FN、C、FH、FW分别是Filter Number（滤波器数量）、Channel、Filter Height、Filter Width的缩写。这里用粗体字表示Convolution层的实现中的重要部分。在这些粗体字部分，用im2col展开输入数据，并用reshape将滤波器展开为2维数组。然后，计算展开后的矩阵的乘积。展开滤波器的部分（代码段中的粗体字）如图7-19所示，将各个滤波器的方块纵向展开为1列。这里通过reshape(FN,-1)将参数指定为-1，这是 reshape的一个便利的功能。通过在reshape时指定为-1，reshape函数会自动计算-1维度上的元素个数，以使多维数组的元素个数前后一致。比如， (10, 3, 5, 5)形状的数组的元素个数共有750个，指定reshape(10,-1)后，就会转换成(10, 75)形状的数组。 forward的实现中，最后会将输出大小转换为合适的形状。转换时使用了 NumPy的transpose函数。 transpose会更改多维数组的轴的顺序。如图7-20所示，通过指定从0开始的索引（编号）序列，就可以更改轴的顺序。

以上就是卷积层的forward处理的实现。通过使用im2col进行展开，基本上可以像实现全连接层的Affine层一样来实现（5.6节）。接下来是卷积层的反向传播的实现，因为和Affine层的实现有很多共通的地方，所以就不再介绍了。但有一点需要注意，在进行卷积层的反向传播时，必须进行im2col的逆处理。这可以使用本书提供的col2im函数（col2im的实现在common/util.py中）来进行。除了使用col2im这一点，卷积层的反向传播和Affine层的实现方式都一样。卷积层的反向传播的实现在common/layer.py中，有兴趣的读者可以参考。

池化层的实现

池化层的实现和卷积层相同，都使用im2col展开输入数据。不过，池化的情况下，在通道方向上是独立的，这一点和卷积层不同。具体地讲，如图7-21所示，池化的应用区域按通道单独展开。

像这样展开之后，只需对展开的矩阵求__各行的最大值__，并转换为合适的形状即可（图7-22）。

上面就是池化层的forward处理的实现流程。下面来看一下Python的实现示例。

class Pooling:
    
    def __init__(self, pool_h, pool_w, stride = 1, pad = 0):
        self.pool_h = pool_h
        self.pool_w = pool_w
        self.stride = stride
        self.pad = pad
        
        
    def forward(self, x):
        N, C, H, W = x.shape
        out_h = int(1 + (H - self.pool_h) / self.stride)
        out_w = int(1 + (W - self.pool_w) / self.stride)
        
        # 展开(1)
        col = im2col(x, self.pool_h, self.pool_w, self.stride, self.pad)
        col = col.reshape(-1, self.pool_h*self.pool_w)
        
        # 最大值(2)
        out = np.max(col, axis = 1)
        
        # 转换(3)
        out = out.reshape(N, out_h, out_w, C).transpose(0, 3, 1, 2)
        
        return out