Kalman滤波通俗理解+实际应用

作者 | 南叔先生

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01  Kalman用于解决什么的问题

卡尔曼滤波是一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。

人话就是：线性数学模型算出预测值+传感测量值=更准确的测量值。

02  先来看一下姿态估计问题

03  看几个例子

3.1 例题1

假设有一个标量系统，信号与观测模型为：

其中a为常数，n[k]和w[k]是不相关的零均值白噪声，方差分别为\sigma^2_n 和\sigma^2 。系统的起始变量x[0]为随机变量，其均值为零，方差为P_x[0] 。

（1）求估计x[k] 的卡尔曼滤波算法；

（2）当a=0.9,\sigma^2_n=1,\sigma^2=10,P_x[0]=10 时的卡尔曼滤波增益和滤波误差方差。

根据卡尔曼算法，预测方程为：

预测误差方差为：

卡尔曼增益为：

滤波方程：

滤波误差方差

起始：

3.2 例题2——运动模型，写出匀加速运动的状态转移方程

第一步，根据基本的物理运动方程，写出状态方程

第二步，写出观测方程模型

我开始也不明白这个观测方程是啥意思，实际上这是模拟传感器的测量值，S代表位移，V代表误差。这里代表目标测量量为位移。                                           

第三步，将第一步和第二步的状态方程与观测方程写成矩阵形式

根据对应关系，可以得到系数：

其中A叫做状态转移矩阵，G叫做控制矩阵，H叫做预测矩阵

给定一个初值，就可以迭代得到后面的值了。

04  计算流程

05  详细推导

下图更简洁的展示了计算流程：

其中F为控制矩阵，Q为预测不确定性，R为传感器噪声，H为映射矩阵，y为误差，

S为方差之和，K为卡尔曼增益，P为更新后的协方差