**下三角矩阵(lower triangular):**M是一个下三角矩阵，当且仅当i<j时，M(i,j)=0 在一个n行的下三角矩阵中，非0区域的第一行有1个元素，第二行有2个元素，……第n行有个元素...在一个上三角矩阵中，非0区域的第一行有n个元素，第二行有n-1个元素，……，第n行有1个元素。 这两种三角形非0区域共有n(n+1)/2个非零元素。 考察一个下三角矩阵的元素L(i,j)。...lowerTriangularMatrix.cpp /* * 下三角矩阵的测试函数 * lowerTriangularMatrix.cpp */ #include #include"lowertriangularmatrix.h...x.get(10,14) << endl; cout << x.get(8,5) << endl; return 0; } lowerTriangularMatrix.h /* * 下三角矩阵的类定义...void set(int,int,const T&);//设置矩阵元素值 private: int n;//矩阵非零元素最大个数 T *element;//矩阵中元素存储所在数组
1：导入包numpy from numpy import * 2: 定义初始化矩阵 a1 = mat([[3,4],[2,16]]) //这是一个2×2的矩阵 3：求a1的逆矩阵 a2
48.Algorithm Gossip: 上三角、下三角、对称矩阵 说明 上三角矩阵是矩阵在对角线以下的元素均为0，即Aij = 0，i > j，例如： 1 2 3 4 5 0 6 7 8 9 0 0...10 11 12 0 0 0 13 14 0 0 0 0 15 下三角矩阵是矩阵在对角线以上的元素均为0，即Aij = 0，i < j，例如： 1 0 0 0 0 2 6 0 0 0 3 7 10 0...15 上三角或下三角矩阵也有大部份的元素不储存值（为0），我们可以将它们使用一维阵列来储存以节省储存空间，而对称矩阵因为对称于对角线，所以可以视为上三角或下三角矩阵来储存。...解法 假设矩阵为nxn，为了计算方便，我们让阵列索引由1开始，上三角矩阵化为一维阵列，若以列为主，其公式为：loc = n*(i-1) - i*(i-1)/2 + j 化为以行为主，其公式为：loc...= j*(j-1)/2 + i 下三角矩阵化为一维阵列，若以列为主，其公式为：loc = i*(i-1)/2 + j 若以行为主，其公式为：loc = n*(j-1) - j*(j-1)/2 + i
对于矩阵有一类特殊的矩阵，叫做三角矩阵。 这种矩阵如果还是按照定义一个二维数组来对数值进行存储的话，无疑将消耗掉不必要的空间，所以我们采用压缩存储的方式，将矩阵存储在一位数组中。 ...对于下三角矩阵，如果按照行优先存储，则{a11, a21, a22, a31, a32, a33, a41, a43, a44}，一维数组容量为10，即4 * ( 4 + 1) / 2 => n * (...对于上三角矩阵，如果按照行优先存储，则{a11, a12, a13, a14, a22, a23, a24, a33, a34}，一维数组容量为10，还是4 * ( 4 + 1) / 2 => n * ...问题：若一个一阶线性方程组的系数矩阵为下三角矩阵，则方程组的解则很容易计算出。 对于此方程组的求解可以表示为： 对于系数矩阵为上山角矩阵的，方程组的解同样可以很容易推出。
矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法求解优化问题。 首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，需要什么样的定义？...标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为，是对称矩阵。对向量或矩阵求导都可以得到Hessian矩阵，但从矩阵 f出发更方便。...，求导时矩阵被向量化，弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构，会导致结果变得形式复杂；好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论可以沿用过来，只需将矩阵向量化。...观察一下可以断言，若矩阵函数F是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对F求微分，再做向量化并使用技巧将其它项交换至左侧，即能得到导数。...和标量对矩阵的导数相比，矩阵对矩阵的导数形式更加复杂，从不同角度出发常会得到形式不同的结果。有一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式，可用来做等价变形： 。 。 。
本程序通过矩阵运算方式实现一个三角形的平移变换任务，最终效果如下图。 整个程序包含两个文件，分别是： 1. TranslatedTriangleMatrix.html 平移三角形
利用矩阵在任意行/列加减其他行列的任意倍后行列式不变的性质，化为三角矩阵后，计算主对角线元乘积求解。 前者的复杂度是 O(n!)...而通过化三角矩阵，我们可以用 O(n^3) 的复杂度完成行列式的求解。对于同样的矩阵，我们只需要进行 1 \times 10^9 的运算。这对于中小规模的矩阵已经足够快速了。...Theory 通过性质 1，我们可以对矩阵进行变换，将其化为三角矩阵，从而通过性质 2 的方法求解行列式。 先从一个具体的例子入手。...反复消去，就能得到一个上三角矩阵。 ---- 但这里需要注意一个 corner case：a_{i,i} = 0 怎么办。...因此在算法过程中需要在交换时额外处理一下。 ---- 进一步的 corner case：假如第 i 行到第 n 行的第 j 列全都为零呢？
因为一个小问题，调试了好久 555555 上三角矩阵指主对角线以下的元素都为0的矩阵；主对角线为从矩阵的左上角至右下角的连线。 本题要求编写程序，判断一个给定的方阵是否上三角矩阵。...输入格式： 输入第一行给出一个正整数T，为待测矩阵的个数。接下来给出T个矩阵的信息：每个矩阵信息的第一行给出一个不超过10的正整数n。随后n行，每行给出n个整数，其间以空格分隔。...输出格式： 每个矩阵的判断结果占一行。如果输入的矩阵是上三角矩阵，输出“YES”，否则输出“NO”。
设每个元素的大小是size，首元素的地址是a[1]，则 a[i] = a[1] + (i-1)*size 若首元素的地址是a[0] 则a[i] = a[0] + i*size 二维数组的地址计算 (m*n的矩阵...二维数组通常用来存储矩阵，特殊矩阵分为两类： （1）元素分布没有规律的矩阵，按照规律对用的公式实现压缩。 （2）无规律，但非零元素很少的稀疏矩阵，只存储非零元素实现压缩。...一、三角矩阵 包括上三角矩阵，下三角矩阵和对称矩阵 (1)若i<j时，ai,j=0，则称此矩阵为下三角矩阵。 (2)若i>j时，ai,j=0，则称此矩阵为上三角矩阵。...(3)若矩阵中的所有元素满足ai,j=aj,i，则称此矩阵为对称矩阵。 下三角 上三角 二、三对角矩阵 带状矩阵的压缩方法：将非零元素按照行优先存入一维数组。
在这种表示下，研究人员可以分析用户间的互动模式、信息传播路径以及社区结构等。此外，无向图还在电路设计、物流优化、生物信息学等领域有着广泛的应用。...邻接矩阵是一种用于表示图的矩阵形式，对于图中的每一个顶点，邻接矩阵中的对应行和列表示了该顶点与其他所有顶点的连接关系。...邻接矩阵是一种用于表示图结构的矩阵形式。在邻接矩阵中，矩阵的行和列都对应图中的节点，而矩阵中的元素则表示节点之间的关系。...这种对称性使得我们在处理无向图的邻接矩阵时可以节省一些计算资源。例如，我们只需要计算矩阵的上三角或下三角部分，因为另一半可以通过对称性得到。...不同于无向图，因为在有向图中，如果存在节点 A 指向节点 B 的边，那么不一定存在节点 B 指向节点 A 的边，所以有向图的邻接矩阵不一定是对称矩阵（不能理解成：有向图的邻接矩阵一定不是对称矩阵！）。
前言 本专栏是LeetCode刷题笔记，记录一下自己的做题轨迹，更好的让自己复习这些令人头痛的题目。...题目描述 给定一个非负整数 *numRows，*生成「杨辉三角」的前 numRows 行。 在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。...杨辉三角（也称帕斯卡三角），它是一个无限对称的数字金字塔，从顶部的单个1开始，下面一行中的每个数字都是上面两个数字的和。...杨辉三角图 思路 根据杨辉三角的性质每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可用此性质写出整个杨辉三角。即第 n 行的第 i 个数等于第 n-1行的第 i-1 个数和第 i个数之和。...给你一个由二维数组 mat 表示的 m x n 矩阵，以及两个正整数 r 和 c ，分别表示想要的重构的矩阵的行数和列数。 重构后的矩阵需要将原始矩阵的所有元素以相同的 行遍历顺序 填充。
注意：矩阵\(A\)是一个长方形矩阵，不一定是方阵，另外\(\Sigma\)和矩阵\(A\)的维度相同，并且其包含一个对角子矩阵(diagonal submatrix)。 2....在介绍SVD如何计算之前，首先回顾一下【Math for ML】矩阵分解(Matrix Decompositions) （下）中介绍过任何对称矩阵都能对角化，其公式如下： \[S=S^T=PDP^T\...}\),其转置矩阵和其本身相乘之后得到的矩阵都是对称矩阵，即\(A^TA∈R^{n×n}\)和\(AA^T∈R^{m×m}\)均为对称矩阵。...\(A\)的右奇异矩阵\(V\)是\(A^TA\)的特征矩阵\(P\)。...，即有n个独立的特征向量条件下才可以做特征值分解； 特征值分解后得到的矩阵\(P\)不必须是正交矩阵，也就是说\(P\)可以起到伸缩和旋转的作用；而SVD中的\(U,V\)矩阵都必须是正交矩阵，所以这两个矩阵只能起到旋转变换的作用
三 标量视角下的链式法则 3.1 标量形式的神经网络 下图为标量形式的神经网络，并且为了说明方便不考虑偏置项。 ?...会有如下推导形式： 可以发现，当计算前一层 梯度分量时候，后一层已经计算好的 结果并不能给它提供任何有益的信息，而是重新从均方误差开始进行复杂的偏导计算，这样会导致计算冗余度太大，而且标量视角下的链式法则求解梯度会给人一种很混乱的感觉...四 矩阵视角下的BP算法 下面的内容会涉及到大量矩阵求导运算，这确实是一个非常难啃的部分。矩阵求导法则本文中不做介绍，感兴趣的人可以阅读《The Matrix Cookbook》这本书详细学习。...图3：matrix book 4.1 矩阵形式的神经网络 下图为3层不考虑偏置项的全连接神经网络示意图： ?...图4：全连接神经网络 上图[network]可以描述为如下公式: θσσ（）损失函数如下所示： （）优化的目标函数为： （）其中 ，表示的权重矩阵， 为隐层向量。
如下图所示，假设现在要将三维空间中的三角形渲染到屏幕上。...三角形的模型文件中，顶点坐标是在局部坐标系（Xl-Yl-Zl）下的，比如图中三角形三个顶点的初始坐标就可能是(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)。...模型矩阵 模型矩阵将局部坐标系下的顶点坐标转化到世界坐标系下。此处就要涉及局部坐标系相对于世界坐标系的位置和方向，或者说空间中的点的位置发生变化时，坐标如何变化。...也就是这个点在视图坐标系下的坐标（模型矩阵将顶点从局部坐标系转化到世界坐标系中，视图矩阵将顶点从世界坐标系转化到视图坐标系下） 如果将观察者视为一个模型，那么视图矩阵就是观察者的模型矩阵的逆矩阵。...令相机空间的最近处与观察者的距离为near，而最远处与观察者距离为far，屏幕宽高比为aspect，水平视角为fov，通过原理简单和略微繁杂的计算（涉及三角函数和相似三角形），就可以求出投影矩阵： 注意
文章目录 一、矩阵构造 1、列举元素 2、顺序列举 3、矩阵重复设置 4、生成元素 1 矩阵 二、矩阵计算 1、矩阵相加 2、矩阵相减 3、矩阵相乘 4、矩阵对应相乘 5、矩阵相除 6、矩阵对应相除..., 现在有 16 列 C = repmat(B, 3, 2) 执行结果 : 4、生成元素 1 矩阵 矩阵构造 , 生成指定行列的矩阵, 矩阵元素是 1 ; % 矩阵构造 , 生成 3 行 3 列的矩阵...: 2、矩阵相减 矩阵相减就是对应位置相加 , 只有行列相等的矩阵才能相减 ; % 矩阵相减就是对应位置相加 % 只有行列相等的矩阵才能相减 D = A - B 执行结果 : 3、矩阵相乘 矩阵相乘...: 第一个矩阵的行数等于第二个矩阵的列数 , 第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数 , 满足上面两个条件 , 才可以相乘 ; % 矩阵相乘 % 第一个矩阵的行数等于第二个矩阵的列数 , % 第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数...C = A + B % 矩阵相减就是对应位置相加 % 只有行列相等的矩阵才能相减 D = A - B % 矩阵相乘 % 第一个矩阵的行数等于第二个矩阵的列数 , % 第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
酉矩阵 若n阶复矩阵A满足 A^HA=AA^H=E 则称A是酉矩阵，记为A\in U^{n\times n} 设A\in C^{n\times n}，则A是酉矩阵的充要条件是A的n个列（或行）向量是标准正交向量组...), \mathscr{A}(\beta))=(\alpha,\beta) ---- 正交矩阵 若n阶实矩阵A满足 A^TA=A^A=E 则称A是正交矩阵，记为A\in E^{n\times n} 设A...或正交变换） ||\mathscr{A}(\alpha)||=||\alpha||，其中\forall \alpha \in V \sigma将V的标准正交基变到标准正交基 酉变换（或正交变换）在标准正交基下的矩阵表示是酉矩阵...（或正交矩阵） ---- 满秩矩阵的QR分解 若n阶实矩阵A\in \mathbb{C}^{n\times n}满秩，且 A = [\alpha_1,......Q和正线上三角阵R，使 A=QR 且分解唯一
-------------------------''' ''' triu():提取矩阵上三角矩阵 (upper triangle of an array.) triu（m, k=0） m：表示一个矩阵...k：表示对角线的起始位置（k取值默认为0） ''' #k=0表示正常的上三角矩阵 b = np.triu(a,0) print(b) ''' [[1 2 3] [0 5 6] [0 0 9]] '''...print(d) ''' [[1 2 3] [4 5 6] [0 8 9]] ''' print("-----\n") ''' ------------------------------- tril()下三角矩阵...-------------------------''' ''' tril():提取矩阵下三角矩阵 (lower triangle of an array.) ''' #k=0表示正常的下三角矩阵 e...print("-----\n") m4 = m1-m2 print(m4) ''' [[ 0 -2 0] [ 0 0 -6] [ 0 0 0]] ''' print("-----\n") ''' 正常的下三角减去下三角
$A$酉相似于一个上（下）三角矩阵 ---- 例1 已知$A = \begin{bmatrix}0&3&3\\-1&8&6\\2&-14&-10\end{bmatrix}$，求酉矩阵$U$，使得$U^HAU...$是一个上三角矩阵 解：$|\lambda E-A|=\lambda(\lambda+1)^2$，当$\lambda=0$时，$A$有单位特征向量 $$ \eta_1 = (\frac{2}{\sqrt...定理：$\exists U\in U^{n\times n}$，使得$U^{-1}AU$为对角矩阵的充分必要条件为$A^HA=AA^H$ 定义：如果矩阵$A$满足$A^HA=AA^H$，则称其为正规矩阵...---- Hermite矩阵 定义：$A\in \mathbb{C}^{n\times n}$，若$A^H=A$，则称$A$为Hermite矩阵 定理：Hermite矩阵是正规矩阵，Hermite矩阵的特征值是实数...$U$，使得$U^HAU$是一个上三角矩阵 解：首先求出其特征多项式$|\lambda E-A|=(\lambda +1)^3$，当$\lambda=-1$时，求出属于特征值-1的一个单位特征向量为 $
，海森矩阵和牛顿法的介绍，非常的简单易懂，并且有Hessian矩阵在牛顿法上的应用。...Jacobian矩阵和Hessian矩阵 发表于 2012 年 8 月 8 日 1. Jacobian 在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式....雅可比矩阵 雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近. 因此, 雅可比矩阵类似于多元函数的导数....雅可比行列式 如果m = n, 那么FF是从n维空间到n维空间的函数, 且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵. 于是我们可以取它的行列式, 称为雅可比行列式....海森Hessian矩阵 在数学中, 海森矩阵(Hessian matrix或Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵, 此函数如下： 2), 最优化 在最优化的问题中,
（一）节点形函数 （二）单元位移场及应变场 （三）单元刚度矩阵 将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，将每个小矩阵称为这个矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。...分块矩阵是一个矩阵， 它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵 。然后把每个小矩阵看成一个元素。...对于高次三角形单元，若仍用直角坐标定义形函数，计算刚度矩阵将十分复杂；而改用面积坐标后，公式可大为简化且积分运算非常简单。...需要注意的是，这里引用的面积坐标，只限于用在一个三角形单元之内，在该三角形之外并无意义，因而是一种局部坐标．与此相反，以前所用的直角坐标 x 和 y，则是总体坐标，它通用于所有单元，即通用于全结构。
领取专属 10元无门槛券
手把手带您无忧上云
云服务器
即时通信 IM
ICP备案
云直播
实时音视频
