【数字信号处理】相关函数 ( 自相关函数示例 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 11:54:59

5270

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一、自相关函数示例

一、自相关函数示例

给定一个 " 周期函数 " :

x(n) = A \sin (\omega n)

其中

\omega = \cfrac{2\pi}{N}

, 求该 " 周期函数 " 的 " 自相关函数 "

r_x(m)

" 周期信号 " 的自相关函数公式 :

r_x(m) = \cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x^*(n)x(n+m)

该信号是 " 实信号 " , 不是 " 复信号 " , 不需要使用共轭

;

r_x(m) = \cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)x(n+m)

将

x(n) = A \sin (\omega n)

代入到上面的式子中 ;

r_x(m) = \cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1} [ A \sin (\omega n) ] [ A \sin (\omega ( n + m )) ]

展开式子 , 计算得到 :

r_x(m) = \cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1} A^2 \sin (\omega n) \sin ( \omega n + \omega m )

使用三角函数和差化积公式 , 参考百度百科 https://baike.baidu.com/item/和差化积/6973039 ;

r_x(m) = \cfrac{A^2}{N} \cos \omega m \sum_{n = 0}^{N-1} \sin^2 \omega n + \cfrac{A^2}{N} \sin \omega m \sum_{n = 0}^{N-1} \sin \omega n \cos \omega n

下面的式子

\sum_{n = 0}^{N-1} \sin \omega n \cos \omega n = 0

值为

当

n = 0

时 ,

\sin \omega n \cos \omega n = 0

;

当

n = 1

时 , 与

n = N-1

时 , 抵消了 ;

当

n = 2

时 , 与

n = N-2

时 , 抵消了 ;

则最终结果为 0 , 则有 :

\cfrac{A^2}{N} \sin \omega m \sum_{n = 0}^{N-1} \sin \omega n \cos \omega n = 0

当前的推导相关函数为 :

r_x(m) = \cfrac{A^2}{N} \cos \omega m \sum_{n = 0}^{N-1} \sin^2 \omega n

根据三角函数公式 :

\sin^2 \alpha=\cfrac{(1-\cos2\alpha)}{2}

可得 :

\sin^2 \omega n = \cfrac{(1- \cos 2 \omega n)}{2}

带入到相关函数中 , 可得 :

r_x(m) = \cfrac{A^2}{N} \cos \omega m \sum_{n = 0}^{N-1} \cfrac{1}{2} (1 - \cos 2 \omega n)

下面的式子

\sum_{n = 0}^{N-1} \cos 2 \omega n = 0

值为

则最终结果为 :

r_x(m) = \cfrac{A^2}{2} \cos \omega m

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