最优控制理论笔记总结（33）——无限时间的线性离散系统二次型动态规划问题算法

  从上一节可以看到，即使系统的参数矩阵是常数阵，求解得到的反馈增益 K 也是时变矩阵。当级数 N 逐渐增大时，反馈增益矩阵会逐渐趋于某一个常数矩阵，所以当 N 趋于无穷大时，在有限时间内，反馈增益矩阵 K 会变为常数矩阵。

无限时间的线性离散系统二次型动态规划问题：

被控对象：

初始条件：

性能指标：

目标任务：求最优控制序列

使 J 达到极小值。

  若上述系统是能控的，则由上一节笔记可知，最优性能指标可写为：

  所以，根据最优性原理可得：

因为

所以可得

所以控制量可写为：

根据上一节的递推过程：

令  

得  

采用迭代法求 V 的数值解：

得到 V 的值后，利用上面的 u* 公式求解最优控制量。

  到目前为止，基本与上一节类似。但为了结束 V 的迭代，需要预设一个截止条件。

方法1、预设小正数 ε

  当满足 || V(N-j) - V(N-j+1) || ＜ ε 时，停止迭代，并认为 V(i) 已收敛到稳态值 V ；

方法2、预设最大迭代次数 Tmax

  当迭代次数达到最大次数限值时，停止迭代，并认为 V(i) 已收敛到稳态值 V 。

特别说明：

  将求出的最优控制代入原状态方程，则得到闭环系统的状态方程：

  若性能指标中的加权矩阵 Q 满足：

其中，C 是系统输出矩阵。

且 (F,C) 是完全可观测的，则闭环系统是渐近稳定的。

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