最优控制理论笔记总结（28）——离散LQR算法（在线、离线）

前面几节中介绍了连续系统的在线LQR算法和离线LQR算法，以及时间最优控制、燃料最优控制等相关算法。具体可参看如下笔记链接：

最优控制理论笔记总结（17）——一般最优控制仿真举例（含Matlab实现代码）

最优控制理论笔记总结（19）——在线LQR算法（有限时间状态调节器最优控制）

最优控制理论笔记总结（20）——无限时间状态调节器最优控制（离线LQR）

最优控制理论笔记总结（22）——（目标跟踪的LQR算法）最优控制算法跟踪问题

最优控制理论笔记总结（24）——倒立摆的最优控制仿真举例（含Matlab实现代码）

为了使LQR算法应用于实际工业产品，下面对（在线/离线）的离散LQR算法进行介绍。

1、离散LQR算法（有限时间）：

在第25节中已经介绍了连续系统离散化后的表达式为：

（具体推导过程请参看本公众号相关笔记“最优控制理论笔记总结（25）——连续系统的离散化、离散最优控制问题数学表达”，不再赘述）。

设初始状态：

二次型性能指标一般设为：

算法的任务：确定控制信号

使性能指标达到极小值。

系统哈密顿函数可写为：

对应控制方程为：

所以，离散两点边界值问题可以被描述为：

为给出系统闭式解，假设：

带入上面的离散两点边界值问题，可得：

对上面两个式子进行合并，消去 x(i+1) 得：

为了使上式对任意状态 x(i) 都成立，P(i) 必须满足如下 Riccati 差分方程：

若

存在

则

所以最优控制为：

式中，

称为“状态反馈矩阵”。

2、离散LQR算法（无限时间）：

被控对象为：

初始状态为：

反馈控制为：

性能指标为：

算法的任务：确定控制信号

使性能指标达到极小值。

3、给出如下定理以确定上述最优反馈控制律：

定理：线性二次型最优控制问题的反馈控制 u* = -K*x(i) 使闭环系统矩阵

渐近稳定的充要条件是

其中，

满足Riccati 方程：

以上，便实现了在线离散LQR算法的求解和离线离散LQR算法的求解过程。

本阶段全套笔记：

【最优控制理论与仿真】

公众号内还有：

【经典控制理论】全套笔记

【现代控制理论】全套笔记

【非线性控制理论】全套笔记

【车辆动力学】全套笔记

下阶段全套笔记：

【模型预测控制理论与仿真】

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