最优控制理论笔记总结（27）——离散最小值原理

本次笔记通过引入哈密顿函数，推导离散系统最优控制问题所必须满足的必要条件：离散最小值原理

离散系统最小值原理：

设被控对象为：

对应初始条件为：

终端约束条件为：

其中，Φ 是 x(N) 的连续可微的 r 维向量函数。

性能指标为：

其中，θ[x(N),N] 是终端代价；

拉格朗日向量为：

协态变量序列为：

所以，离散系统的最优控制问题可以归结为如下性能指标达到极小值：

设

所以可得：

对上式求一阶变分，得:

因为实现最优控制的必要条件为

而

是任意的，

是任意的，所以有：

、

所以，归纳上述，可得 u(i) 不受约束(或受开集约束)时的离散系统的最小值原理：

设离散系统的状态方程为：

则为将系统的状态x(i)自给定的初态

转移到满足终端条件

的某个终态 x(N)，并使性能指标

达到极小值的最优控制应满足的必要条件如下。

1) 设 u*(i) (i=0,1…,N-1) 是最优控制，x*(i) (i=1,2.…,N) 是对应于 u*(i) 的最优轨线，则必存在相应的协态变量序列 λ(i+1) (i=0,1.…,N-1)，使得状态变量序列 x(i) 与协态变量序列 λ(i) 满足下列差分方程：

式中，哈密顿函数为：

2)边界条件为：

3)离散哈密顿函数对最优控制序列 u*(i) 达到最小值，即：

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