最优控制理论笔记总结（25）——连续系统的离散化、离散最优控制问题数学表达

在前面的章节中，详细介绍了连续时间系统下的各类最优控制问题及其对应算法，包括：古典变分法、最小值原理、时间最优控制问题、燃料最优控制问题、LQR最优控制问题等相关内容。但所有相关内容都限定在“连续”条件下，并不符合实际工程的使用条件。在实际工程中，采用的都是离散系统。

本次笔记将介绍离散时间系统的最优控制问题。对于该问题的求解方法也分为两种：离散变分法、离散最小值原理，与连续系统一致。另一种方法是《动态规划法》，将在后面几节笔记进行介绍。

1、连续系统离散化方法：

对于连续被控对象：

设其初始时刻为 t0 ，则对应状态解为：

其中，F(t,t0) 是状态转移矩阵。

（关于状态转移矩阵，线性系统状态求解的多种方法等相关内容，可在本公众号查阅【现代控制理论】全套笔记，附有详细说明，此处不再赘述：现代控制理论总结（5）——状态空间方程求解、状态转移矩阵）

若

则对应的状态表达式为：

设 T 为采样周期，并定义：

所以可得：

上式就是连续系统离散化后的表达式。

对于定常系统，因为

将上式带入前面的离散化过程，可以分别得到 F 和 G 矩阵，即：

然后利用差分对被控对象表达式进行离散：

其中，I 是单位矩阵

对比上面的离散表达式和 F 、G ，可以得到离散系统的系统矩阵 F 和控制矩阵 G ：

所以能看出，F(T) 就是 exp(AT)的泰勒展开，并略去高次项，从而形成线性化结果。

2、离散最优控制问题数学表达：

为不失一般性，设被控对象为：

其初始条件设为：

对应性能指标为：

其中 ，

是终端代价。

所以，离散系统的最优控制问题就是确定最优控制序列

使 J 达到极小值，并将该序列称为最优控制序列。利用输入序列求解出的状态向量

就是最优状态向量。

本阶段全套笔记：

【最优控制理论与仿真】

公众号内还有：

【经典控制理论】全套笔记

【现代控制理论】全套笔记

【非线性控制理论】全套笔记

【车辆动力学】全套笔记

下阶段全套笔记：

【模型预测控制理论与仿真】

期待您的关注、留言、讨论！