最优控制理论笔记总结（29）——离散最优控制仿真举例（含Matlab与Simulink建模）

  前面对离散最优控制做了相关介绍，算法的具体笔记可参看如下链接：

最优控制理论笔记总结（25）——连续系统的离散化、离散最优控制问题数学表达

最优控制理论笔记总结（26）——离散欧拉方程与离散横截条件表达式推导

最优控制理论笔记总结（27）——离散最小值原理

最优控制理论笔记总结（28）——离散LQR算法（在线、离线）

  本次笔记利用Matlab和Simulink对离散最优控制进行算法学习和仿真。

1、Matlab求解：

  设系统状态方程为：

  其中，初始状态为：

  给定最优指标为：

  求上述系统的控制序列 u*(i) ，使性能指标取极小值。

  从上面的题目中可以看到，最优控制指标为二次型，所以该问题就是在求使得离散线性LQR性能指标为最小的反馈控制量。

  在Matlab中，我们可以利用命令“dlqr”来求解反馈控制增益 K ，即：

[K,P,E] = dlqr(A,B,Q,R)

其中，K 是反馈增益向量；P 是黎卡提方程的解； E 是闭环系统特征值。

  此外，也可以直接根据前面所说的反馈增益的表达式进行求解：

K = (R+B'*P*B)^(-1)*B'*P*A

  但无论哪种形式都要注意：该反馈为负反馈，所以：

u = -K*x

具体算法如下：

A = [2 1 ；0 1] ;B = [0 ；1] ;Q = [1 0 ； 0 1] ;R = 1 ;[K,P,E]=dlqr(A,B,Q,R)

  上面代码中：

A 是系统矩阵；

B 是控制矩阵；

Q 是状态代价矩阵；

R 是控制代价矩阵；

  求解可得：

K = [2.64047680301092 2.24007933551814]P = [28.6595100893592 16.4702318476905；    16.4702318476905 11.4751952593634]

  除此之外，黎卡提方程的求解还可以利用基于 Schur 变换的 Riccati 方程求解函数 dare 命令：

V = B*inv(R)*B' ;P = dare(A,V,Q)

2、Simulink仿真

  下面利用simulink建模检测算法效果。根据状态空间方程建模如下：

其中，K1和K2就是前面利用Matlab求解得到的反馈增益值。

观察其控制量和状态量分别为：

对应性能指标随时间变化曲线为：

  如果将某个反馈增益做微小改动，例如将 K2 从 2.2401 改为 2.3 ，对性能指标进行对比，如图所示：

稳态的局部图为：

  可以看到，任意微小的增益变化，都会导致最终稳态性能指标比用命令求解得到的性能指标更大。所以该算法确实达到了目标：使性能指标为最小值。

本阶段全套笔记：

【最优控制理论与仿真】

公众号内还有：

【经典控制理论】全套笔记

【现代控制理论】全套笔记

【非线性控制理论】全套笔记

【车辆动力学】全套笔记

下阶段全套笔记：

【模型预测控制理论与仿真】

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