常见的几种矩阵分解方式

全栈程序员站长

发布于 2022-09-02 01:51:19

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1.三角分解(LU分解)

矩阵的LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵与上三角矩阵的乘积。本质上，LU分解是高斯消元的一种表达方式。首先，对矩阵A通过初等行变换将其变为一个上三角矩阵。对于学习过线性代数的同学来说，这个过程应该很熟悉，线性代数考试中求行列式求逆一般都是通过这种方式来求解。然后，将原始矩阵A变为上三角矩阵的过程，对应的变换矩阵为一个下三角矩阵。这中间的过程，就是Doolittle algorithm(杜尔里特算法)。

转一个Tony Ma同学写的例子：若AX=b是一个非奇异系统，那么高斯消元法将A化简为一个上三角矩阵。若主轴上没有0值，则无需交互行，因此只需进行第3类初等行变换（把第 i 行加上第 j 的 k 倍）即可完成此变换。例如

第3类行变换可以通过左乘相应的初等矩阵image实现，对上例来说进行的3个变换就是相应初等矩阵的乘积。注意最右边是一个下三角矩阵L

从而有 G 3 G 2 G 1 A = U G_3G_2G_1A = U G3G2G1A=U，即 A = G 1 − 1 G 2 − 1 G 3 − 1 U A=G_1^{-1}G_2^{-1}G_3^{-1}U A=G1−1G2−1G3−1U。因此 A = L U A=LU A=LU，为一个下三角与一个上三角矩阵的乘积，因此称为LU分解。注意: 1）U是高斯消元的结果，且对角线上是主元 2）L对角线上是1，对角线下面的元素image恰恰是在式1中用于消去（i,j）位置上元素的乘子。

LU分解常用来求解线性方程组，求逆矩阵或者计算行列式。例如在计算行列式的时候， A = L U A=LU A=LU， d e t ( A ) = d e t ( L ) d e t ( U ) det(A) = det(L)det(U) det(A)=det(L)det(U)。而对于三角矩阵来说，行列式的值即为对角线上元素的乘积。所以如果对矩阵进行三角分解以后再求行列式，就会变得非常容易。

在线性代数中已经证明，如果方阵 A A A是非奇异的，即 A A A的行列式不为0，LU分解总是存在的。

并非所有矩阵都能进行LU分解，能够LU分解的矩阵需要满足以下三个条件：

1.矩阵是方阵（LU分解主要是针对方阵）； 2.矩阵是可逆的，也就是该矩阵是满秩矩阵，每一行都是独立向量； 3.消元过程中没有0主元出现，也就是消元过程中不能出现行交换的初等变换。

2.QR分解

QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。用一张图可以形象地表示QR分解：

这其中， Q Q Q为正交矩阵， Q T Q = I Q^TQ = I QTQ=I，R为上三角矩阵。实际中，QR分解经常被用来解线性最小二乘问题。

3.Jordan分解

每次看到Jordan分解，就想起当年考研的那段时光。控制原理里面，就有大段关于Jordan分解的内容。可惜当时矩阵分析没有学到位，线性代数里头又没有提到Jordan分解，所以理解起来那个费劲。废话这么多，先来看看Jordan到底是个什么鬼：我们将下面的 k × k k \times k k×k 阶方阵 J K ( λ ) = [ λ 1 λ 1 ⋱ ⋱ λ 1 λ ] k × k J_K(\lambda) = \left[ \begin{matrix} \lambda & 1 & \\ & \lambda & 1 \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & \lambda & 1\\ & & & & \lambda \end{matrix} \right] _{k \times k} JK(λ)=⎣⎢⎢⎢⎢⎡λ1λ1⋱⋱λ1λ⎦⎥⎥⎥⎥⎤k×k 称为Jordan块。同时，我们也将由若干个Jordan块组成的对角矩阵成为Jordan阵。由Jordan块的定义不难看出，Jordan 阵与对角阵的差别仅在于它的上 (下)对角线的元素是0或1。因此，它是特殊的上三角阵。

为什么要进行Jordan分解呢？或者说，Jordan分解能解决什么问题呢？我们先来复习一下，如果一个n阶方阵 A A A可以对角化，那么 A A A至少满足下列条件的一个： 1. A A A有n个线性无关的特征向量。 2. A A A的所有特征值的几何重数等于相应的代数重数，即 q i = p i q_i = p_i qi=pi。 3. A A A的极小多项式经标准分解后，每一项都是一次项，且重数都是1。

因为有的矩阵不可以进行对角化，那么我们可以对它进行Jordan分解，达到简化计算的目的。