计量模型 | 前定变量#时间FE

最近在某年会的学术汇报上看到一篇DID实证论文，不过作者构建的计量模型比较特别。这篇文章的基本财务数据来自工企数据库，但却用于评估2017年实施的某项政策的政策效应。我们知道，一般的工企数据库的年份区间是1998-2013年，就算是使用最新的数据也只能到2015年（最近EPS中国微观经济数据查询系统将其更新至2015年，但数据真实性与有效性本人暂未验证），那么作者是如何用1998-2013年的财务数据来评估2017年实施的某项政策的呢？

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作者构建的基准模型如下式$(1)$（已简化，公式可左右滑动）。

$$

y{it}=\beta did{it}+\lambda X{i,2009-2013}×\mu _t+\varphi {i,t,ind}+\varepsilon _{it}

\tag{1}

$$

其中，$X{i,2009-2013}$是一系列企业层面的控制变量在2009-2013年的均值，数据来源于工企数据库，$\mu _t$是时间FE，$\varphi {i,t,ind}$包括个体FE、时间FE与行业FE。样本区间是2015-2019年。

可以观察到，被解释变量$y{it}$与核心解释变量$did{it}$均在个体与时间两个维度上变动，但控制变量$X_{i,2009-2013}$只随着个体变动，在时间维度上始终是一个恒常数。为了补充控制变量在时间维度上的信息，作者将这一系列控制变量与时间FE交乘，并称之为控制变量初始值的时间趋势。

仔细思考一下，这里至少存在四个问题：

• 第一，只有当变量本身就存在明显的时间趋势时才能以变量初始值的时间趋势来作为替代。对于企业样本来说，企业的财务数据是否存在时间趋势应该是分阶段的，比如在成长期或衰退期，企业的资产、负债等财务指标逐年增长或缩减；但企业如果处在转型期间，则趋势不太明显。此外，并非所有的财务数据都有明显的时间趋势。
• 第二，变量初始值是2009-2013年的均值，但样本区间是2015-2019年，因此即便能用初始值的时间趋势作为实际值的替代，变量初始值也缺乏2014年的信息，代表性可能没有想象中的那么强。
• 第三，变量与时间FE的交互项本身不能定义为变量的时间趋势。往期推文有介绍过时间趋势，变量的时间趋势就是变量初始值与时间趋势项trend的交乘，而非初始值与时间FE的交乘，后者的范围更广，实际上包含了前者。
• 第四，多重共线性。因为变量初始值为恒常数，因此与时间FE交乘后，不同变量的交乘项可以互相表出，即存在多重共线性。

实际上，模型中引入变量初始值（或称，前定变量）与时间趋势的交乘项是比较常见的做法，如陈诗一等（2021）在基准模型中通过控制三个前定变量（2007年各省人均实际GDP、二氧化硫工业排放强度与废气治理投资占比）与时间趋势三阶多项式的交乘项，以解决可能存在的因遗漏变量而导致的内生性，而时间趋势的三阶多项式则用来规避可能存在的多重共线性。

2 陈诗一, 张建鹏, 刘朝良. 环境规制、融资约束与企业污染减排——来自排污费标准调整的证据J. 金融研究, 2021, 495(9): 51-71.