神奇的δ-函数

用户7506105

发布于 2021-10-27 08:28:40

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大学时曾上过一门电工学的课，这也是为数不多能真正意义上学懂的专业课之一，其中有一章就是电路暂态分析，即当电压发生突变时的电容电感电流的变化情况，一般来讲这里的暂态指的是变化时间很小甚至可以时间微分

Δ t

$\Delta t$

为0的场景，称此电路具有脉冲性质。类似的还有比如一个系统某一瞬间受到外力的作用从而改变原始运动状态的情况也属于这种场景。在研究这类场景时就自然而然地带出了单位脉冲函数——

δ

$\delta$

-函数(又称Dirac函数)。它具有很多非常神奇的性质，且往下看。

引入

还是以电路场景为例，假设某一电路的电流随时间变化，即电流为

i (t)

$i(t)$

,由库伦定理可知，电流等于单位时间通过的电荷量Q，这里电荷量单位是库伦，在时刻

t_{0}

$t_0$

发生了脉冲(突然通电)，即此时变为

$Q(t) = \begin{cases} 0, t<=t_0 \\ 1, t>t_0 \end{cases}$

则毫无疑问，此时的电流为

$i(t_0) =\frac{dQ(t)}{dt} |_{t=t_0} =\lim_{\Delta t \to 0}\frac{Q(t_0 + \Delta t) - Q(t_0)}{\Delta t}$

显然上式分子的被减数是在大于

$t_0$

时的，所以函数值为1，而减数是刚好等于

$t_0$

的，所以分子一定为1，而分母依极限趋于0，则整个电流式子则趋于无穷，这显然无法用该式表示此时的电流，则为了解决这个问题，英国物理学家引入了单位脉冲函数来代表，即大名鼎鼎的

$\delta$

-函数。

由上面例子不难发现，通俗地认识是此时的

$\delta$

-函数是上述分段函数的导数，而上述分段函数学名是阶跃函数(r如果一个值为1，另一个值为0，且分界点t为0，则成为单位阶跃函数u(t))，由高等数学知识可以知道，阶跃函数是在分段点非连续的(分段点一般是跳跃间断点)，所以当然阶跃函数不可导，这里可以看成是为了利用其的一些特殊性质而对导数进行了推广，所以有以下式子成立：

$\int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d\tau = u(t)$

$\frac{d}{dt} u(t) = \delta(t)$

单位阶跃函数u(t)的应用为拉普拉斯变换的推导提供了基础，任何定义域为R的函数乘以单位阶跃函数后定义域都变成了

$[0,+\infty]$

,更能适应现实时间t>=0的场景了

值得注意的是，

$\delta$

-函数虽然是一个函数，但是它没有普通意义上的函数值(不满足Y和X一一对应)，但它却是函数是因为它是某函数空间上的线性连续泛函(即某序列元素为函数的极限)，它可以有如下定义：

$\delta_{\varepsilon }(t) = \begin{cases} 0, t<0 \\ \frac{1}{\varepsilon},0<=t<=\varepsilon \\ 0, t>\varepsilon \end{cases}$

此时

$\delta(t) = \lim_{\varepsilon \to 0}\delta_{\varepsilon}(t)$

所以一般

$\delta(t)$

-函数有如下定义

$\delta(t) = \begin{cases} +\infty,x=0 \\ 0,x \neq 0 \end{cases}$

性质

由上述定义，不难引出一个重要的积分等式：

$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_{\varepsilon }(t) dt = \int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} \frac{1}{\varepsilon}dt = 1$

所以有

$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) dt =1$

此外，对于任何一个无穷次可微的函数

$f(t)$

，都满足

$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)f(t) dt = \lim_{\varepsilon \to 0}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_{\varepsilon }(t)f(t) dt$

这个性质本质上也是

$\delta$

-函数的定义，表明是连续泛函

这个等式还可以接着写下去，即原式为：

$\lim_{\varepsilon \to 0}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_{\varepsilon }(t)f(t) dt = \lim_{\varepsilon \to 0}\int_{0}^{\varepsilon}\frac{1}{\varepsilon}f(t) dt = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon} \int_{0}^{\varepsilon} f(t)dt$

这里就需要有中值定理的眼力了，很明显为

$\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon} \int_{0}^{\varepsilon} f(t)dt = \lim_{\varepsilon \to 0} f(\theta \varepsilon)$

所以有

$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)f(t) dt =f(0)$

更一般地进行坐标偏移，即

$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0)f(t) dt =f(t_0)$

此性质为

$\delta$

-函数的筛选性质

这个性质可以推广到二维甚至多维，即

$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(u,v)f(u,v) dt =f(0,0)$

$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(u-u_0,v-v_0)f(u,v) dt =f(u_0,v_0)$

多维依次归纳推广即可

$\delta_{\varepsilon }(u,v) = \begin{cases} 0, u,v<0 \\ \frac{1}{\varepsilon^2},0<=u,v<=\varepsilon \\ 0, u,v>\varepsilon \end{cases}$

且

$\delta(u,v) = \lim_{\varepsilon \to 0}\delta_{\varepsilon}(u,v)$

所以由二维(或多维)的结果又有一个重要结论

$\delta(x,y) = \delta(x)\delta(y)$

$\delta(x-x_0,y_0) = \delta(x-x_0)\delta(y-y_0)$

一些结论：

$\delta$

-函数是偶函数，

$\delta(t) = \delta(-t)$

$\delta(at) = \frac{1}{|a|} \delta(-t)$

可以看成是坐标缩放或扩大a倍，而总的积分值(面积)为1，自然函数值(高)就会扩大或缩小a倍了

$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(t)f(t) dt =-f'(0)$

由分布积分

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) d\delta(t) = \delta(t) f(t) - \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f'(t)= -f'(0)即可推得$

推广到更一般，有

$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta^{(n)}(t)f(t) dt =(-1)^n f'(0)$

更重要的性质 是在积分变换中崭露头角，比如在傅里叶变换和拉普拉斯变换中，对

$\delta$

-函数作傅氏变换，有

$F(\omega ) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta^{(n)}(t) e^{-j\omega t} dt = e^{-j\omega t}|_{t=0} =1$

对

$\delta$

-函数作拉普拉斯变换，有

$L[\delta(t)] = \int_{0}^{+\infty}\delta(t) e^{-st} dt = \int_{0^{-}}^{+\infty}\delta(t) e^{-st} dt$

$= \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t) e^{-st}dt = e^{-st}|_{t=0} = 1$

傅氏变换可以看成是时域t到频域

$\omega$

的变换，是信号处理最重要的变换之一，拉普拉斯变换可以看做是对其条件的一些补充，后续会详细推导这两种变换，不见不散啦！

$\delta$

-函数的频谱图

这就说明

$\delta$

-函数的两种变换都与常数1是互为变换对，这在信号处理领域(比如小波变换等)是非常关键的性质

总结

$\delta$

-函数可看作是在原点处无限高、无限细，但是总面积为1的一个尖峰的连续函数,本文所解释的为连续型的

$\delta$

-函数，此外还有离散型的

$\delta$

-函数专门处理离散问题，如下

$\delta[n] = \begin{cases} 1,n=0 \\ 0,n \neq 0 \end{cases}$

这里的n定义域为整数集Z，这个函数代表着一个冲激或单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的冲激响应。

在应用上，如前所述，具有优良的积分变换性质，故在图像变换领域是理论基础和工具，此外还多数运用在有暂态分析的场景中。电路场景中代表了点电荷的密度，受力质点场景比如要描述球杆击球的动力学问题，可以用

$\delta$

-函数描述击球那一刻的力，不但各种方程会因此简化，而且只需球杆传递的总冲量就能算出球击出后的运动，而不须考虑球杆向球传递能量的复杂具体情况。

还需说明的是本文所述的

$\delta$

-函数受作者水平限制只是它的一些比较浅显的推论和性质，更多的考虑需要不断结合测度论、泛函分析等细分领域的知识才能更加抽象但详细地区了解掌握它，但总是需要一步一步来的！！

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