三门问题

导语

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题，是美国电视游戏节目Let's Make a Deal的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）提出的一个著名问题。该问题最好玩的地方在于，答案在逻辑上没有漏洞，但却与观众的直觉相违背，故也称为蒙提霍尔悖论，饶有趣味。关于问题的思考方式有很多，本文尝试从统计学的角度解答这个问题，此为笔者个人拙见，仅供参考，敬请指正。

主持人：蒙提·霍尔（Monty Hall）

三门问题的提出，曾在当时引起一阵热烈的讨论。时至今日，该问题仍然作为学习概率的经典例子。接下来我和大家分享一下我的个人见解。

游戏过程说明： （1）游戏玩家面对三个关闭的大门，每个门后面都有一个奖品，其中有1扇门后面的奖品是一辆车，另外2扇门后面各是一只山羊。奖品随机放在三个门后面。 （2）玩家最终只能打开一扇门，并拿到门后的奖品。显然，拿到汽车的收益最大。 （3）首先，玩家先挑选一个门，不妨假设为A门，其他两个门称为B门和C门。 （4）主持人知道车在哪个门后。在打开玩家选中的门之前，主持人会先打开另一个没有车的门来增加悬念（如果汽车在A门 后面，那么主持人打开 B 或者 C 都是安全的，所以他可以随意选择一个；如果汽车在B后面，那么主持人只能够选择C） （5）然后主持人给玩家一个选择，是坚持最初的选择还是换到另外一个没有打开的门？ 问题是：坚持与改选对选中汽车的概率有影响吗？

图1

答案在下方（空行护体）：

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答案：坚持与改选对选中汽车的概率有影响，坚持对选中汽车的概率是1/3，改选对选中汽车的概率是2/3。

简单解析：

假设观众最初选择门A，主持人打开门B或门C，观众坚持与改选，对选中汽车的概率的影响如图2。观众最初选择门B、C，情况一样。因此坚持与改选对选中汽车的概率有影响，坚持对选中汽车的概率是1/3，改选对选中汽车的概率是2/3。

图2

详细解析（从统计学的角度）：

在开始计算两种策略对选中汽车的概率前，我们需要先来复习一下4个统计学概念：

（1）全概率公式

假设{ Bn : n = 1, 2, 3, ... } 是一个概率空间的有限或者可数无限的分割（既Bn为一完备事件组），且每个集合Bn是一个可测集合，则对任意事件A有全概率公式：

图3

（2）条件概率 事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率：

图4

（3）先验概率 在贝叶斯统计中，某一不确定量p的先验概率分布是在考虑"观测数据"前，能表达p不确定性的概率分布

（4）贝叶斯定理 描述事件A在事件B（发生）的条件下的概率，与事件B在事件A（发生）的条件下的概率的关系：

图5

接下来，我们开始计算坚持、改选两种策略对选中汽车的概率。我们把问题简化为：观众开始选的是A门，主持人打开B门，观众坚持与改选，对选中汽车的概率分别是多少？

我们假设： 事件A为车在A门后面 事件B为车在B门后面 事件C为车在C门后面 事件b为主持人打开B门

于是上述问题，可以进一步转化为：求后验概率P(A|b)与P(C|b)

先验概率： 一开始任意一个门后有车的概率为P(X)=1/3，X=A,B,C

条件概率： 当车在A门后，主持人开B门的概率，P(b|A)=1/2 当车在B门后，主持人开B门的概率，P(b|B)=0 当车在C门后，主持人开B门的概率，P(b|C)=1

坚持对选中汽车的概率是1/3

改选对选中汽车的概率是2/3

证明完成